Решит интеграл

[Maik2013]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить этот интеграл более простым способом. Заранее большое спасибо!

$$ I=-\dfrac{2}{\sqrt{B}}\int\dfrac{d\sqrt{y}} {B^{3/2}\sqrt{y}-\sqrt{y-b}}. $$

Положим

$$ z=\sqrt{y}, \qquad dz=d\sqrt{y}.$$

Тогда

$$ I=-\dfrac{2}{\sqrt{B}} \int\dfrac{dz}{B^{3/2}z-\sqrt{z^{2}-b}}. $$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

$$ (B^{3/2}z+\sqrt{z^{2}-b} $$

$$ I= -\dfrac{2}{\sqrt{B}}\int \dfrac{B^{3/2}z+\sqrt{z^{2}-b}}{B^{3}z^{2}-(z^{2}-b)}dz. $$

Так как

$$ B^{3}z^{2}-(z^{2}-b)=(B^{3}-1)z^{2}+b, $$

то

$$ I=-2B \int \dfrac{z dz}{(B^{3}-1)z^{2}+b}-\dfrac{2}{\sqrt{B}}\int\dfrac{\sqrt{z^{2}-b}}{(B^{3}-1)z^{2}+b}dz. $$

Первый интеграл вычисляется непосредственно:

$$ -2B\int \dfrac{z\,dz} {(B^{3}-1)z^{2}+b}= -\dfrac{B}{B^{3}-1} \ln\left|(B^{3}-1)z^{2}+b\right|. $$

Для второго интеграла введём замену

$$ z=\sqrt{b}\cosh u, \qquad \sqrt{z^{2}-b}=\sqrt{b}\sinh u, \qquad dz=\sqrt{b}\sinh udu. $$

Тогда

$$ \int \dfrac{\sqrt{z^{2}-b}} {(B^{3}-1)z^{2}+b}dz=\int \dfrac{\sinh^{2}u} {(B^{3}-1)\cosh^{2}u+1}du. $$

Полагая

$$ v=\tanh u, \qquad du=\dfrac{dv}{1-v^{2}}, $$

получаем

$$ \int \dfrac{\sinh^{2}u} {(B^{3}-1)\cosh^{2}u+1} \,du = \int \dfrac{v^{2}} {(1-v^{2})(B^{3}-v^{2})} \,dv. $$

Разложение на простые дроби имеет вид

$$ \dfrac{v^{2}} {(1-v^{2})(B^{3}-v^{2})} = \dfrac{1}{B^{3}-1} \left( \dfrac{1}{1-v^{2}} -\dfrac{B^{3}}{B^{3}-v^{2}} \right). $$

Следовательно,

$$\int \dfrac{\sqrt{z^{2}-b}} {(B^{3}-1)z^{2}+b} \,dz = \dfrac{1}{B^{3}-1} \left[ \operatorname{artanh}v - B^{3/2} \operatorname{artanh} \left( \dfrac{v}{B^{3/2}} \right) \right]. $$

Так как

$$v=\tanh u = \dfrac{\sqrt{z^{2}-b}}{z}, $$

то

$$\int \dfrac{\sqrt{z^{2}-b}} {(B^{3}-1)z^{2}+b} \,dz = \dfrac{1}{B^{3}-1} \left[ \operatorname{artanh} \left( \dfrac{\sqrt{z^{2}-b}}{z} \right) - B^{3/2} \operatorname{artanh} \left( \dfrac{\sqrt{z^{2}-b}} {B^{3/2}z} \right) \right]. $$

Подставляя найденные результаты, получаем

$$\boxed{ \begin{aligned} I &= -\dfrac{B}{B^{3}-1} \ln\left|(B^{3}-1)z^{2}+b\right| \\[1ex] &\quad -\dfrac{2}{\sqrt{B}(B^{3}-1)} \operatorname{artanh} \left( \dfrac{\sqrt{z^{2}-b}}{z} \right) \\[1ex] &\quad +\dfrac{2B}{B^{3}-1} \operatorname{artanh} \left( \dfrac{\sqrt{z^{2}-b}} {B^{3/2}z} \right) +C. \end{aligned} } $$

Возвращаясь к переменной $y$ $(z=\sqrt{y})$, окончательно имеем

$$ \boxed{ \begin{aligned} I &= -\dfrac{B}{B^{3}-1} \ln\left|(B^{3}-1)y+b\right| \\[1ex] &\quad -\dfrac{2}{\sqrt{B}(B^{3}-1)} \operatorname{artanh} \left( \sqrt{\dfrac{y-b}{y}} \right) \\[1ex] &\quad +\dfrac{2B}{B^{3}-1} \operatorname{artanh} \left( \dfrac{1}{B^{3/2}} \sqrt{\dfrac{y-b}{y}} \right) +C. \end{aligned} } $$

[tolstopuz]

Можно сразу сделать подстановку $t=\frac{z+\sqrt{z^2-b}}{\sqrt{b}}$ (gpt 5.5 догадался, gemini 3.1 нет).

-- добавлено через 1 минуту --

Можно сразу сделать подстановку $t=\frac{z+\sqrt{z^2-b}}{\sqrt{b}}$ (gpt 5.5 догадался, gemini 3.1 нет).