2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система линейных уравнений.
Сообщение17.09.2008, 06:02 
Здравствуйте!
Пусть дана система линейных уравнений $Ax=b$, где матрица $A: (n-1) x n$ состоит из линейно независимых строк. Алгоритм состоит из того, что берётся одна компонента вектора неизвестных $x$ и приравнивается к 0. Затем ищутся все остальные компонеты которые удовлетворяют системе уравнений. Так для каждой компоненты вектора $x$.
Как можно показать, что количество полученных таким образом решений со всеми положительными компонентами не может превышать двух?
Численно действительно всё получается, а вот каким способом это доказать, хотя бы направление доказательства.

 
 
 
 Re: Система линейных уравнений.
Сообщение17.09.2008, 07:38 
Аватара пользователя
Alexey1 писал(а):
хотя бы направление доказательства.

$x_i=a_i + b_i t$

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:04 
Нет ну а если серьёзно.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:12 
Аватара пользователя
Приравнивайте нулю одну из компонент, находите $t$, затем находите остальные компоненты.
Точно по Вашему алгоритму.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:16 
Это надо сделать в общем случае для размерности $n$.
Необходимо получить доказательство а не численный пример. Что Вы имеете ввиду?

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:20 
Аватара пользователя
Выпишите здесь общее решение в Вашем общем случае.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:26 
Ну решить систему нельзя, так как матрица не квадратная. А если Вы имеете ввиду как получать решения по алгоритму, то решение
$x=Bb$, где матрица $B$ матрица обратная матрице $A$ после исключения столбца нулей. Но как определить есть ли в данном решении компоненты с отрицательным знаком.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:30 
Аватара пользователя
Выпишите здесь общее решение системы линейных уравнений в Вашем общем случае с неквадратной матрицей.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:36 
Вы имеете ввиду систему с использованием свободных неизвестных с одной стороны и базисных неизвестных с другой?
$a_{11} x_1 + ... + a_{1,n-1} x_{n-1} = b_1$
...
$a_{n-1,1} x_1 + ... + a_{n-1,n-1} x_{n-1} = b_{n-1}$
$x_n = 0$.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:47 
Аватара пользователя
TOTAL писал(а):
Выпишите здесь общее решение системы линейных уравнений в Вашем общем случае с неквадратной матрицей.

Здесь все понятно написано.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:53 
А я разве не то выписал?

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 08:58 
Аватара пользователя
Продолжу разговор только после того, как напишете общее решение исходной системы уравнений.

 
 
 
 
Сообщение17.09.2008, 09:01 
Ну я выписал выше уравнения? В каком виде надо написать.
Подскажите хотя бы ссылку, где в интернете это можно посмотреть.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group