Распад на троих

[DimaM]

Покоящаяся частица распадается на три осколка с массами $\,m,\, 2m\,$ и $\,3m$, при этом выделяется энергия $\,E$. Найти максимально возможную скорость одного из осколков.

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

$v_{\text{max}}^2 = \frac{5E}{3m}$

Задача довольно многословно сводится к одномерному распаду "на двоих".
Сведение к одномерному случаю довольно просто.
А вот дальше мне пришлось угадать ответ и положить $v_3 = v_2 + \widetilde{v_3}$
После чего несложно доказывается, что максимум $v_1$ достигается при $\widetilde{v_3} = 0$
Другие подходы к какому-то более-менее короткому решению не привели

[realeugene]

(Оффтоп)

Кинетическая энергия по ортогональным координатам суммируется. Так что две массивные частицы слипаются. Всё.

Точнее даже так. Кинетическая энергия тела есть кинетическая энергия ЦМ плюс кинетическая энергия частей относительно ЦМ, а импульс = импульсу ЦМ. Так что части тела, состоящего из двух медленных частиц, должны быть неподвижны относительно их ЦМ.

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1725040 писал(а):

Кинетическая энергия по ортогональным координатам суммируется. Так что две массивные частицы слипаются. Всё.

Нет, не всё. Вообще говоря, из первого предложения не следует второе.

[lel0lel]

Импульс: $\vec{v_1}+2\vec{v_2}+3\vec{v_3}=0$. Энергия: $v_1^2+2v_2^2+3v_3^2=2E/m$.
Оценим с помощью Коши-Буняковского: $(2{\vec v_2}+3{\vec v_3})^2=(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}{\vec v_2}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}{\vec v_3})^2\leq 5(2v_2^2+3v_3^2)$. То есть $v_1^2\leq 5(2v_2^2+3v_3^2)$, и равенство достигается, если векторы скоростей второй и третьей частиц равны. Подставляя в ЗСЭ получается $6/5v_1^2\leq 2E/m$, что совпадает с найденным выше.

[EUgeneUS]

lel0lel в сообщении #1725047 писал(а):

Оценим с помощью Коши-Буняковского:

Да, красиво.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1725040 писал(а):

Кинетическая энергия тела есть кинетическая энергия ЦМ плюс кинетическая энергия частей относительно ЦМ, а импульс = импульсу ЦМ. Так что части тела, состоящего из двух медленных частиц, должны быть неподвижны относительно их ЦМ.

Более строго

$$E=\frac{p^2}{2m_1}+\frac{p^2}{2(m_2+m_3)}+\frac{m_2m_3}{m_2+m_3}\frac{u^2}{2},$$

где $u$ - относительная скорость масс 2 и 3. Импульс максимален при $u=0$. Дальше скорость

$$v^2=\left(\frac{p}{m_1}\right)^2=\frac{2E(m_2+m_3)}{m_1(m_1+m_2+m_3)}$$

максимальна при $m_1=m$.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1725061 писал(а):

Более строго

Я решал ровно так же.
Как "олимпиадное решение", оно, конечно, на зачет.

Но чисто эстетически мне не нравится, так как нужно сначала догадаться, что массивные тела слипнутся, исходя из этого выразить скорость третьего тела через относительную скорость и уже потом доказать, что относительная скорость - ноль.
А решение через Коши-Буняковского красивое.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1725061 писал(а):

Более строго

А зачем?

Для решения, в котором два тела не слиплись, есть решение для меньшей суммарной энергии с тем же импульсом быстрого тела, в котором два медленных тела слиплись. А значит можно второе решение ещё немного подвигать и увеличить суммарную энергию и импульс, и первое решение не максимальное.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1725136 писал(а):

Для решения, в котором два тела не слиплись, есть решение для меньшей суммарной энергии с тем же импульсом быстрого тела, в котором два медленных тела слиплись. А значит можно второе решение ещё немного подвигать и увеличить суммарную энергию и импульс, и первое решение не максимальное.

Формулами оно как-то понятнее.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1725138 писал(а):

Формулами оно как-то понятнее.

Хум хау. Я сейчас пытаюсь эти задачки решать в уме.