Лагранжиан пылевидной материи

[SergeyGubanov]

SergeyGubanov в сообщении #1051284 писал(а):

На сколько мне известно, выражение $T^{\mu\nu} = \rho \, u^\mu u^\nu$ ни из какого Лагранжиана не выводится. Дело в том, что идеальная пыль не обладает собственной динамикой, у неё просто нет динамических полевых переменных, а значит и нет своего Лагранжиана. Соответственно и уравнения движения пылевидной материи:

$$\nabla_{\mu} \left( \rho u^{\mu} \right) = 0, \eqno(1)$$

$$u^{\mu} \nabla_{\mu} u^{\nu} = 0. \eqno(2)$$

тоже не являются Лагранжевыми.

Вот у идеального газа или идеальной жидкости Лагранжиан есть - это давление $p$. У идеальной пыли давление в точности равно нулю - Лагранжиана нет.

Лагранжиан пылевидной материи был описан в последней книге Бурланкова "Лагранжева динамика пространства в космологии", 2022, ISBN 978-5-91326-638-5.

От себя лишь добавлю к этой пыли баловства ради электрический заряд и квази "вывод" из "первых принципов".

Действие пылевидной материи Бурланкова (в которое я добавил до кучи заряд):

$$ S_{B} = \frac{m c}{2} \int n \left[ \frac{g^{\mu \nu}}{m^2 c^2} \left( \frac{\partial \mathcal S}{\partial x^{\mu}} + \frac{e}{c} A_{\mu} \right) \left( \frac{\partial \mathcal S}{\partial x^{\nu}} + \frac{e}{c} A_{\nu} \right) - 1 \right] \sqrt{-g} \, d_4 x. $$

Здесь $n(x)$ концентрация пыли, а смысл функции $\mathcal S(x)$ станет понятен чуток пониже.

Вариация действия по $n(x)$ даёт уравнение Гамильтона-Якоби на функцию $\mathcal S(x)$:

$$ \frac{\delta S_{B}}{\delta n} = 0 \quad \to \quad \frac{g^{\mu \nu}}{m^2 c^2} \left( \frac{\partial \mathcal S}{\partial x^{\mu}} + \frac{e}{c} A_{\mu} \right) \left( \frac{\partial \mathcal S}{\partial x^{\nu}} + \frac{e}{c} A_{\nu} \right) = 1. $$

Таким образом функция $\mathcal S(x)$ имеет смысл классического действия частиц пыли как функции координат.

Вариация действия по функции $\mathcal S(x)$ даёт уравнение непрерывности потока пыли с концентрацией $n(x)$:

$$ \frac{\delta S_{B}}{\delta \mathcal S} = 0 \quad \to \quad \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \left( \sqrt{-g} \, n \, g^{\mu \nu} \left( \frac{\partial \mathcal S}{\partial x^{\nu}} + \frac{e}{c} A_{\nu} \right) \right) = 0. $$

Тензор энергии-импульса:

$$ T^{B}_{\mu \nu} = \frac{2 c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{B}}{\delta g^{\mu \nu}} = \frac{n}{m} \left( \frac{\partial \mathcal S}{\partial x^{\mu}} + \frac{e}{c} A_{\mu} \right) \left( \frac{\partial \mathcal S}{\partial x^{\nu}} + \frac{e}{c} A_{\nu} \right). $$

Вектор тока:

$$ J^{\mu} = - \frac{c^2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_{B}}{\delta A_{\mu}} = - \frac{e }{m} n \, g^{\mu \nu} \left( \frac{\partial \mathcal S}{\partial x^{\nu}} + \frac{e}{c} A_{\nu} \right). $$

А теперь как бы мой вывод этих формул из "первых принципов".

Рассмотрим действие Клейна-Гордона-Фока

$$ S_{KGF} = \frac{m c}{2} \int \left[ \frac{g^{\mu \nu}}{m^2 c^2} \left( +i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x^{\mu}} - \frac{e}{c} A_{\mu} \Psi \right) \left( - i \hbar \frac{\partial \Psi^{\star}}{\partial x^{\nu}} - \frac{e}{c} A_{\nu} \Psi^{\star} \right) - \Psi \Psi^{\star} \right] \sqrt{-g} \, d_4 x. $$

Перейдём к так называемому "классическому пределу" $\hbar \to 0$.

$$ \Psi = \sqrt{n} \exp \left( +\frac{i \mathcal S}{\hbar} \right), \qquad \Psi^{\star} = \sqrt{n} \exp \left( -\frac{i \mathcal S}{\hbar} \right), \qquad \frac{\hbar^2}{m^2 c^2} \left| g^{\mu \nu} \frac{\partial \sqrt{n}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \sqrt{n}}{\partial x^{\nu}} \right| \ll n. $$

Вот и всё, при $\hbar \to 0$ из $S_{KGF}$ получается $S_{B}$. Лагранжиан пылевидной материи Бурланкова (с добавленым мной зарядом) является классическим пределом лагранжиана Клейна-Гордона-Фока.