производная предела

[ShMaxG]

Подскажите пожалуйста, когда производная предела некой функции равна пределу производной этой функции?
И еще, вот, скажем, есть у нас производная функции

\[ C'\left( x \right) = e^{ - x^2 } \]

. Верно ли, что одна из ее первообразных:

\[ C\left( x \right) = \int\limits_{ + \infty }^x {e^{ - t^2 } } dt = \mathop {\lim }\limits_{x_0 \to \infty } \int\limits_{x_0 }^x {e^{ - t^2 } } dt \]

?

[Brukvalub]

Грубо говоря, для перестановочности двух предельных переходов достаточно, чтобы один из них был равномерным.

ShMaxG в сообщении #144839 писал(а):

скажем, есть у нас производная функции

\[ C'\left( x \right) = e^{ - x^2 } \]

. Верно ли, что одна из ее первообразных:

\[ C\left( x \right) = \int\limits_{ + \infty }^x {e^{ - t^2 } } dt = \mathop {\lim }\limits_{x_0 \to \infty } \int\limits_{x_0 }^x {e^{ - t^2 } } dt \]

?

Это верно.

[ShMaxG]

Ага, а что такое равномерный предельный переход?

[Brukvalub]

Грубо говоря, это такой предельный переход по одной переменной, что, при его записи на епсилон-дельта языке, выбор величины дельта по епсилон не зависит от второй переменной, то есть для всех значений второй переменной годится одно и то же дельта. Точные формулировки см. в Зорич В.А. — Математический анализ (том 2)

[ShMaxG]

Ааа, спасибо.
И еще, помогите посчитать предел:

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\int\limits_{ + \infty }^x {e^{x^2 - t^2 } dt} \]

[Brukvalub]

Маркиз-воришка Вам поможет лучше меня.

[ShMaxG]

Загадками говорите? Но я понял, спасибо, что-то в голову сначала не пришло)