Сверх-бесконеччные скорости роста

[Germs]

В последнее время я размышляю о продолжении функций с особенностью (например, полюсом) за пределы этой особенности монотонным и естественным образом.

Рассмотрим функцию -1/x. При x<0 она монотонно возрастает. Можно ли естественным образом продолжить её через особенность в нуле, сохранив монотонный рост?

Я заметил, что эта функция совпадает с интегралом
\int_0^{\infty } \exp (t x) \, dt
при x<0.

Что если интерпретировать этот интеграл как бесконечное сюрреальное число при x\ge0?

Мы можем интерпретировать интеграл как росток функции
\int_0^{X } \exp (t x) \, dt
при X\to\infty. А ростки можно канонически вложить в сюрреальные числа посредством отображения X\mapsto\omega.

Тогда мы получим функцию
(e^{x \omega }-1)/x.
Её вещественная часть в точности совпадает с вещественной частью -1/x.

Например, можно видеть, что при x=1 функция принимает значение e^\omega-1.

В целом возникает следующий оператор:
f^{T}(x)=\int_0^{\omega } \mathcal{L}_s^{-1}[f(x-s)](t) , dt

где верхний предел интегрирования \omega следует понимать в смысле формулы Ньютона–Лейбница.

В связи с этим мне интересно, что можно сказать о таких трансфинитных скоростях роста? Можно ли обобщить на них понятие ростков? Можно ли вложить такие ростки в сюрреальные числа? Будут ли они соответствовать несчётным сюрреальным числам? Как выглядели бы производные таких функций (и дифференцирования ростков)?