Фунд.матрица для цепи с переходом в любое другое состояние

[leshadap01]

Здравствуйте.

Рассматриваю конечную однородную цепь Маркова на M состояниях s_1,\ldots,s_M, у которой

p_{ii}=0,

p_{ij}=\frac{1}{M-1},\quad i\ne j.

То есть

P=\left(\frac{1}{M-1}\right)(J_M-E_M),

где E_M — единичная матрица порядка M, а J_M — матрица порядка M, все элементы которой равны 1.

Для этой цепи рассматриваю фундаментальную матрицу

Z=(E_M-P+\Pi)^{-1},

где \pi=(1/M,\ldots,1/M) — стационарное распределение, а

\Pi=\vec{1}\pi^T=\frac{1}{M}J_M.

В результате получается

Z=\left(\frac{M-1}{M}\right)E_M+\left(\frac{1}{M^2}\right)J_M.


Вопросы такие.

1. Встречается ли где-нибудь в литературе вывод фундаментальной матрицы для этой цепи?

2. Можно ли получить этот результат короче через спектральный анализ?