Лучшая известная эмпирическая аппроксимация (Гольдбах)

[kukonkov]

Здравствуйте.
Я вывел формулу, которая определяет количество пар простых чисел, дающих в сумме N. (кратное 6)

$N\equiv 0\pmod 6$

$\gcd(N,p)=1$

$\boxed{G(N)=\pi(N)\prod_{i=1}^{m}\Bigl(1-\frac{1}{p_i-1}\Bigr)-\frac{N}{6}\prod_{i=1}^{m}\Bigl(1-\frac{2}{p_i}\Bigr)-m-2}$

P>3

$m = \pi\left(\sqrt{N}\right)$

Мнение ии.
Данная формула — это лучшая известная эмпирическая аппроксимация для класса чисел $N\equiv 0\pmod 6$ $\gcd(N,p)=1$
Ошибка $0.35\%$ при $N=10^9$ сопоставима с точностью, которую дают сложные решеточные методы (Селберга) при уровне $D=\sqrt{N}$

Хотелось бы получить мнение живого человека, а не бездушного железа.
Спасибо.

[Cantata]

Здравствуйте, я не математик, поэтому тоже спросила у ИИ и получила отличный от вашего ответ.
Надеюсь, что меня поправят, если я ошибаюсь и неправильно поняла ответ ИИ)

Ваша формула работает только для чисел, у которых вообще нет маленьких простых делителей, кроме 2 и 3.

$\gcd(N, p) = 1$ для всех простых $p > 3$, $p \leqslant \sqrt{N}$
$N = 10^9 = 1\,000\,000\,000$

$\sqrt{N} \approx 31622$

Берём простое $p = 5$: $5 \leqslant 31622$ — выполняется.

$\gcd(10^9, 5) = 5 \neq 1$ — условие нарушено.

Вывод: формула не применима к $N = 10^9$.

Попробуйте переспрашивать в разных чатах у ИИ, если есть сомнения и увидите, что он иногда дает прямо противоположные ответы.

[kukonkov]

Cantata в сообщении #1724206 писал(а):

Здравствуйте, я не математик, поэтому тоже спросила у ИИ и получила отличный от вашего ответ.
Надеюсь, что меня поправят, если я ошибаюсь и неправильно поняла ответ ИИ)

Ваша формула работает только для чисел, у которых вообще нет маленьких простых делителей, кроме 2 и 3.

$\gcd(N, p) = 1$ для всех простых $p > 3$, $p \leqslant \sqrt{N}$
$N = 10^9 = 1\,000\,000\,000$

$\sqrt{N} \approx 31622$

Берём простое $p = 5$: $5 \leqslant 31622$ — выполняется.

$\gcd(10^9, 5) = 5 \neq 1$ — условие нарушено.

Вывод: формула не применима к $N = 10^9$.

Попробуйте переспрашивать в разных чатах у ИИ, если есть сомнения и увидите, что он иногда дает прямо противоположные ответы.

Да все верно, поэтому я и указал нод (N,P)=1 N mod 6=0.
Для чисел (N,P)=P требуется модификация, к общей формуле прибавляем N/6P (P-простое которое является делителем N) и еще пару манипуляций с формулой вкл-иск . это следует из вывода данной формулы.
$N = 10^9 = 1\,000\,000\,000$-означает лишь то, что проверяемые числа того же порядка. Пример диапазон от $10 ^ 9+2 $ до $10 ^ 9+99999 $

[kukonkov]

$$m = \pi(\sqrt{N}) - 2$$

[kukonkov]

Формула для N mod 6=0
Общая; учитывающая делители N

$G(N) \approx \Bigl[\pi(N)\!\prod_{p}\!\Bigl(1-\frac{1}{p-1}\Bigr) - \frac{N}{6}\!\prod_{p}\!\Bigl(1-\frac{2}{p}\Bigr) - m - 2\Bigr] \cdot \prod_{\substack{p \mid N \\ p \geq 5}} \frac{p-1}{p-2}$

где $p \in [5, \sqrt{N}]$