Произведение простых

[mathpath]

Чему равны эти произведения :

$ C = \prod_{n=1}^\infty p_n^{\frac{1}{2^n}} = p_1^{1/2} \cdot p_2^{1/4} \cdot p_3^{1/8} \cdot p_4^{1/16} \cdots $
Здесь p​ — простое число

$ C = \prod_{n=1}^\infty p_n^{\frac{1}{n^2}} = p_1^{1/1} \cdot p_2^{1/4} \cdot p_3^{1/9} \cdot p_4^{1/16} \cdots $

Что изменится, если в первой формуле двойку в показателе степени увеличить ?

Что изменится, если во второй формуле двойку в показателе степени увеличить ?

[gris]

по первой формуле: а там все простые по порядку? Если прологарифмировать, то ряд будет сходиться к немного больше 1, то есть произведение к чуть больше 3. Наверное, есть какие-то спецфункции для простых?
если увеличивать число в показателе, то произведение будет уменьшаться в пределе до 1.

[mathpath]

gris в сообщении #1723735 писал(а):

по первой формуле: а там все простые по порядку? Если прологарифмировать, то ряд будет сходиться к немного больше 1, то есть произведение к чуть больше 3. Наверное, есть какие-то спецфункции для простых?
если увеличивать число в показателе, то произведение будет уменьшаться в пределе до 1.

Да, все простые по порядку

[wrest]

Будет уменьшаться и в пределе увеличения будет сходиться к первому члену, т.е. $p_1^1=2$, ессно.

[wrest]

wrest в сообщении #1723752 писал(а):

Будет уменьшаться и в пределе увеличения будет сходиться к первому члену, т.е. $p_1^1=2$, ессно.

Это был ответ на вопрос

mathpath в сообщении #1723720 писал(а):

Что изменится, если во второй формуле двойку в показателе степени увеличить ?

[mathpath]

Если вместо простых поставить числа натурального ряда (также начиная с двойки), то результат станет менее очевиден
Во всех четырех вариантах произведения естественно иррациональны

[wrest]

mathpath в сообщении #1723776 писал(а):

Если вместо простых поставить числа натурального ряда (также начиная с двойки), то результат станет менее очевиден

Предельное поведение при увеличении множителя в показателе примерно такое же (первое стиемится к единице, второе к первому члену, т.е. тоже к единице), и по второму произведению вроде даже замкнутая формула есть (со спецконстантами).
Только непонятно зачем начинать с двойки.

[mathpath]

wrest в сообщении #1723779 писал(а):

mathpath в сообщении #1723776 писал(а):

Только непонятно зачем начинать с двойки.

Потому что единица - это не простое число

[wrest]

mathpath
А как именно начинать с двойки? Первое произведение

$$C_1 = \prod_{n=2}^\infty n^{\frac{1}{2^n}} \eqno (1)$$

или

$$C_1 = \prod_{n=1}^\infty (n+1)^{\frac{1}{2^n}} \eqno (2)$$

или ещё как?

[mathpath]

Я для натурального ряда считал как раз именно по вашей второй версии

[wrest]

mathpath
А какой авторский ответ на вопрос

mathpath в сообщении #1723720 писал(а):

Чему равны эти произведения :

кроме того, что «они равны иррациональным числам»?