Что такое касательный вектор в точке x многообразия M?

[DspUrsion]

Добрый день. Сейчас читаю "Наглядную геометрию и топологию" Фоменко, сейчас на пунктах 2.1.2-2.1.3, вводится понятие касательного вектора так:

Цитата:

Определение 10. Будем считать, что в точке x \in M задан касательный вектор a если в каждой локальной регулярной системе координат задан набор чисел a_1, a_2, \dots, a_n (координаты вектора), преобразующихся при замене координат x \to x' по следующему закону:
a'_j = \sum_i a_i \frac{d x'_j}{d x_i}

Ну, то есть a' = df \cdot a, где df - матрица Якоби отображения замены координат.

То есть, пусть есть "начальная" система координат x_0 = (x_0^1, \dots, x_0^n). Для неё выберем вообще любой набор n действительных чисел и назовём его "начальным" касательным вектором a_0. А затем для оставшихся локальных карт для точки x определяем согласно формуле её касательный вектор. Получается, любой вектор может быть касательным?

Тогда в чём смысл определения касательного пространства как множества всех касательных векторов в точке, если там буквально каждый вектор?

В чём-то я определённо ошибаюсь, помогите, пожалуйста, разобраться.
Спасибо!

[Mikhail_K]

Вы правы, любой вектор в выбранном $n$-мерном касательном пространстве - касательный вектор к многообразию (только разные векторы будут касательными к разным кривым).
В общем-то, любые $n$-мерные линейные пространства в точности одинаковы (изоморфны), так что мы можем взять любое $n$-мерное пространство (все другие от него всё равно ничем не отличаются) и назвать его касательным пространством, а все его элементы - касательными векторами. При этом помнить, что в разных точках многообразия касательные пространства разные.

Смысл в том, чтобы потом сопоставлять гладким кривым на многообразии, проходящим через заданную точку, касательные векторы из заданного касательного пространства. И такое сопоставление будет уже не произвольным.

Ну и соглашусь, что определение из Фоменко действительно эстетически не самое идеальное, зато простое. Если Вам эстетически важно, чтобы определение касательного вектора было более содержательным, чем "просто какой-то вектор", то его можно определить как класс эквивалентности касающихся друг друга гладких кривых, проходящих через данную точку, либо как дифференциальный оператор первого порядка, который можно применять к гладким функциям на многообразии. Недостаток этих определений в том, что они сложнее, хотя и красивее.

-- добавлено через 9 минут --

См., например:
Шутц. Геометрические методы математической физики,
глава 2 "Дифференцируемые многообразия и тензоры".

[DspUrsion]

Да, в книге так же приводится определение через линейный дифференциальный оператор (но оно, кажется, просто повторяет прошлое в сущности, или я не прав). Т.е. вообще говоря, особо нет разницы, что брать в качестве линейных коеффициентов около коеффициентов матрицы Якоби, главное, что касательные векторы так связаны между собой, да?
Т.е., применение оператора к касающимся гладким функциям возвращает одинаковый результат, а какой - плюс-минус без разницы?
И т.е. вот какой именно результат оно возвращает - так мы и "задаём касание" в точке многообразия, да? (выбирая "начальные" касательный вектор и систему координат в терминах моего первого сообщения)

Или я вообще что-т не то пишу?
Вроде логично.