оценка количества пар составных чисел вида 6k±1 (Гольдбах)

[kukonkov]

«Эвристическая формула для оценки количества пар составных чисел вида $6k±1$ с заданным свойством делимости, основанная на принципе включения-исключения с точной поправкой на простые числа. Формула даёт погрешность <1% для N > 10⁴ и может использоваться в численных экспериментах по проверке гипотезы Гольдбаха на конечных интервалах.»

$\gcd(N, p) = 1, \quad N \bmod 6 = 0$

$X(N) = \sum_{k=1}^{m} (-1)^{k-1} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq m} \left[ \frac{2^{k-1} \cdot N}{3 \cdot p_{i_1} \cdots p_{i_k}} - \sigma_{k,1} \cdot \alpha_{p_{i_1}} - \frac{\pi(N)}{(p_{i_1}-1) \cdots (p_{i_k}-1)} \right]$

$\sigma_{k,1} = \begin{cases} 1 & \text{при } k=1 \\ 0 & \text{при } k \geq 2 \end{cases}$

$\alpha_{p_{i_1}} = \begin{cases} 2 & \text{если } N-p \text{ простое} \\ 1 & \text{если } N-p \text{ составное} \\ 0 & \text{если } N-p < 5 \end{cases}$

P- нечётные простые, начиная с 5
N - четное натуральное число
$\pi(N)$ - количество простых чисел до N

[kukonkov]

Статистика по 70 значениям для $N \sim 10^6$:

· Максимальная ошибка: $0,11\%$

· Средняя ошибка: $0,04\%$

· Максимальная абсолютная разница: $98,1$

Статистика по 72 значениям для $N \sim 10^8$:

· Максимальная ошибка: $0,01\%$

· Средняя ошибка: $0,00\%$

· Максимальная абсолютная разница: $984,6$