О задаче Коллатца

[Artem Collatz]

Хотелось бы узнать мнение математиков об обнаруженной связи нечетных чисел в дереве Коллатца. Известна ли данная взаимосвязь в литературе. Сам я, покопавшись в интернете, не нашел этого

-- добавлено через 14 минут --

Алгоритм такой:
1. выпишем все нечетные числа
2. умножим каждое число на 2
3. результат умножения снова умножим на 2 и тд.
получим массив чисел вида
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536
5 10 20 40 80 160 320 640 1280 2560
7 14 28 56 112 224 448 896 1792 3584 7168
9 18 36 72 144 288 576 1152 2304 4608 9216
11 22 44 88 176 352 704 1408 2816 5632 11264
13 26 52 104 208 416 832 1664 3328 6656 13312
Далее, с каждым полученным четным числом проводим операцию (n-1)/3 и выпишем целые результаты.Получается следующая картина
1 2 4 8 16 32 64 128
1 5 21
3 6 12 24 48 96 192 384

5 10 20 40 80 160 320 640
3 13 53 213
7 14 28 56 112 224 448 896
9 37 149
9 18 36 72 144 288 576 1152

11 22 44 88 176 352 704 1408
7 29 117 469
13 26 52 104 208 416 832 1664
17 69 277
15 30 60 120 240 480 960 1920

17 34 68 136 272 544 1088 2176
11 45 181 725
19 38 76 152 304 608 1216 2432
25 101 405
21 42 84 168 336 672 1344 2688

23 46 92 184 368 736 1472 2944
15 61 245 981
25 50 100 200 400 800 1600 3200
33 133 533
27 54 108 216 432 864 1728 3456

29 58 116 232 464 928 1856 3712
19 77 309 1237
31 62 124 248 496 992 1984 3968
41 165 661
33 66 132 264 528 1056 2112 4224

35 70 140 280 560 1120 2240 4480
23 93 373 1493
37 74 148 296 592 1184 2368 4736
49 197 789

-- добавлено через 3 минуты --

В общем, получается следующая картина
1 1 5 21 85 341
3
5 3 13 53 213 853
7 9 37 149 597 2389
9
11 7 29 117 469 1877
13 17 69 277 1109 4437
15
17 11 45 181 725 2901
19 25 101 405 1621 6485
21
23 15 61 245 981 3925
25 33 133 533 2133 8533
27
29 19 77 309 1237 4949
31 41 165 661 2645 10581
33
35 23 93 373 1493 5973
37 49 197 789 3157 12629
39
41 27 109 437 1749 6997
43 57 229 917 3669 14677
45
47 31 125 501 2005 8021
49 65 261 1045 4181 16725
51
53 35 141 565 2261 9045
55 73 293
57
59 39 157 629 2517 10069
61 81 325 1301 5205 20821

-- добавлено через 6 минут --

то есть, путем операций 2n и (n-1)/3 получаем например, переходы нечетных чисел друг в друга в дереве коллатца. Например
1 - 5 - 21 - 85 - 341 - ...
3
5 - 3 - 13 - 53 - 213 - 853 - ...
7 - 9 - 37 - 149 - 597 - ...
9
11 - 7 - 29 - 117 - 469 -...
13 - 17 - 69 - 277 - 1109 - ...
15
17 - 11 - 45 - 181 - 725 -...
19 - 25 - 101 - 405 -...
21
23 - 15 - 61 - 245 - 981...
25 - 33 - 133 - 533 - ...
27
29 - 19 - 77 - 309 - ...
31 - 41 - 165 - 661 - ...
33
35 - 23 - 93 - 373 -...

-- добавлено через 11 минут --

А теперь сам вопрос. В отдельной ветке дерева видно, что каждое последующее нечетное число получается путем операции 4n+1
к примеру: 1 - 5 (4*1+1) - 21 (4*5+1) - 85 (4*21+1)
Но интереснее следующее. Рассмотрим первые переходы
1 - 1
3
5 - 3
7 - 9
9
11 - 7
13 - 17
15
17 - 11
19 - 25
21
23 - 15
25 - 33
27
29 - 19
31 - 41
33
35 - 23
37 - 49
39
41 - 27
43 - 57
45
47 - 31
49 - 65
Во-первых, отметим, что нечетные числа кратные 3 не образуют своих рядов.
Рассмотрим переходы нечетных чисел за вычетом кратных 3ем
1 - 1
5 - 3
7 - 9
11 - 7
13 - 17
17 - 11
19 - 25
23 - 15
25 - 33
29 - 19
31 - 41
35 - 23
37 - 49
41 - 27
43 - 57
47 - 31
49 - 65
Рассмотрим разницу между нечетным числом и числом, в которое оно переходит. Результаты разницы следующие:
2
-2
4
-4
6
-6
8
-8
10
-10
и тд. разница кратная 2.
Вопрос, как грамотно математически доказать, что каждое нечетное число в ряду 1.3.5.7.9.... либо самой передет в другое нечетное , либо в него перейдет какое то число.

-- добавлено через 17 минут --

1-3-5-7-9-11-13-15-17-19-21-23-25-27-29-31-33-35-37-39-41-43-45-...
.....-2+2...-4+4........-6+6.......-8+8.......-10+10.....-12+12........-14+14
......3..9.....7..17......11.25.......15.33.....19..41......23..51..........29...59

-- добавлено через 27 минут --

То есть вопрос сводится к следующему.
есть ряд нечетных чисел 1,3,5,7,9....
числа 5,11,17,23,29 и тд переходят в 5-2, 11-4, 17-6, 23-8, 29-10 и тд соответственно
числа 7,13,19,25,29 и тд переходят в 7+2, 13+4, 19+6, 25+8, 29+10 и тд соответственно
далее, каждое полученное таким образом число образует свой ряд 4n+1
Например, 5-2=3, 3*4+1 = 13, 13*4+1 = 53 , то есть
5 переходит в 3, 3 образует ряд 13, 53, 213, 853 ..
Каким образом можно доказать, что проведя такие операции над рядом 1,3,5,7,9,11....мы получим все числа этого самого ряда.

[mihaild]

Ничего непонятно. Выглядит как случайные строчки из чисел, с вкраплениями не связанных друг с другом слов.

Напишите чётко о чем речь. Проведя какие операции над нечетными числами мы должны получить все нечетные числа.

[Artem Collatz]

ряд нечетных чисел: 1,3,5,7 ....
1) каждое число умножаем на 4 и прибавляем 1. С результатом проделываем то же самое. Строим ряд
Например:
1, 5, 21, 85....
3, 13, 53, 213...
2) От нечетных чисел 5,11,17,23,29,35,41.... отнимаем 2,4,6,8,10,12...соответственно
получаем ряд 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 ....
3) К нечетным числам 7,13,19,25,31,37... прибавляем 2,4,6,8,10,12...соответственно
получаем ряд 9, 17, 25, 33, 41, 49 ....

Можно ли в общем виде доказать, что таким образом мы можем получить все нечетные числа?

[Dmitriy40]

Ряд 2) описывается формулой $4k-1=4k+3$, ряд 3) описывается формулой $8k+1$, а вместе эти два ряда покрывают все нечётные числа. (UPD.)
Осталось показать что количество строк в ряде 1) будет конечным, т.е. начиная с некоторого количества строк (нечётных чисел) все остальные нечётные числа уже будет перенумерованы.
А это очевидно неверно: всегда будут нечётные числа вида $4k+3$, которые нигде выше не встретились потому что не могут быть получены формулой $4k+1$.
Таким образом, ряд (точнее ряды) 1) растёт не только вправо, но и вниз, и начальными слева всегда будут числа вида $4k+3$. Бесконечно!
Разумеется даже ряд(ы) 1) покрывает все нечётные числа, но для этого и не надо ничего умножать и складывать, достаточно просто выписать слева все нечётные числа.
При чём здесь Коллатц ...

[Anton_Peplov]

Dmitriy40 в сообщении #1723541 писал(а):

Ряд 2) описывается формулой $4k-1=4k+3$,

Опечатка?

[Artem Collatz]

Из рядов 1) мы не можем получить все нечетные числа, это же очевидно.
Например, как вы 3 получите, или 9? Нет же целого нечетного числа, при котором 4n+1=3 или 9

[lek]

Artem Collatz в сообщении #1723540 писал(а):

Можно ли в общем виде доказать, что таким образом мы можем получить все нечетные числа?

Если использовать все 3 пункта, то да, все кроме 1.
1) $4(2k+1)+1=5+8k$, где $k$ --- натуральное или 0.
2) $(5+6k)-2(k+1)=3+4k$ или $3+8k$ и $7+8k$.
3) $(7+6k)+2(k+1)=9+8k$.
Но действительно,

Dmitriy40 в сообщении #1723541 писал(а):

При чём здесь Коллатц ...

[Dmitriy40]

Anton_Peplov в сообщении #1723542 писал(а):

Опечатка?

Да, причём для ряда 3), невнимательный, спасибо, поправил.