Числа, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов

[gipokrat]

Доказать, что для каждого натурального $n\geqslant 3$ найдутся $n$ ненулевых целых (не обязательно положительных) чисел, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов.

[ex-math]

Все числа берем равными 2, за исключением одного, равного $2-n$.

[nnosipov]

Решений очень много, потому что уравнение однородное и линейное по каждой неизвестной. Чтобы задача стала действительно головоломкой, автору нужно подумать о дополнительных ограничениях на неизвестные.

[wrest]

Утверждение задачи должно обобщаться, вроде, на любые (натуральные) степени $k$.
Т.е. что
$\forall n>k \in \mathbb{N}, \exists a_i \in \mathbb{Z}, a_i\ne 0 \to \left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_i \right)^k=\sum \limits_{i=1}^{n} a_i^k$
С нечётными степенями $k$ понятно, там всё просто.
С чётными $k$ кажись тоже должно работать, но это не точно