Числа, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов

[gipokrat]

Доказать, что для каждого натурального $n\geqslant 3$ найдутся $n$ ненулевых целых (не обязательно положительных) чисел, квадрат суммы которых равен сумме их квадратов.

[ex-math]

Все числа берем равными 2, за исключением одного, равного $2-n$.

[nnosipov]

Решений очень много, потому что уравнение однородное и линейное по каждой неизвестной. Чтобы задача стала действительно головоломкой, автору нужно подумать о дополнительных ограничениях на неизвестные.

[wrest]

Утверждение задачи должно обобщаться, вроде, на любые (натуральные) степени $k$.
Т.е. что
$\forall n>k \in \mathbb{N}, \exists a_i \in \mathbb{Z}, a_i\ne 0 \to \left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_i \right)^k=\sum \limits_{i=1}^{n} a_i^k$
С нечётными степенями $k$ понятно, там всё просто.
С чётными $k$ кажись тоже должно работать, но это не точно

[gris]

Воспользовавшись советом nnosipov и отсутствием ТС, рискну предложить свой не теоретический вариант условия: найти таковые кортежи из различных простых-со-знаком возрастающих чисел.
$L=4: [-11, 5, 13, 19] 26^2 == 676;$
$L=5: [-5, -2, 3, 7, 13] 16^2 == 256;$
$L=6: [-5, -3, 2, 3, 5, 17] 19^2 == 361;$
$L=8: [-71, -61, -53, -13, -7, -3, 37, 47] -124^2 == 15376;$
Примеров очень много. Какой-бы параметр минимизации выбрать или ужесточить условие?
Длины 3 и 7 не поддаются :(
С тремя простыми ясно из соображений чётности. Нету. А вот с семью что делать?
Простота в общем не причём. "Тут скорее что-то с чётностью". И если в векторе только два чётных числа, то при длине его 2, 3, 7, 15, 23, 31, 39... сумма все попарных произведений не может равняться нулю, а значит и квадрат суммы не равен сумме квадратов:(