Эвристический метод нахождения некоторых простых близнецов

[Cantata]

Здравствуйте.

Случайно нашла эвристическую формулу, которая генерирует некоторых простых близнецов с неожиданно высокой плотностью.

Описание:
Рассмотрим последовательность, заданную рекуррентно:
$a_0 = 11,\quad a_{k+1} = a_k + (k+6),\quad k = 0,1,2,3,\dots$
Шаг увеличивается на единицу: $6,7,8,9,\dots$

Результаты:

До $301.75$ миллиарда:
Всего сгенерировано чисел: $776\,850$
Нечётных кандидатов (дошло до проверки на простоту): $388\,424$
Найдено пар близнецов: $10\,000$

До $1.5$ триллиона:
Всего сгенерировано чисел: $1\,776\,770$
Нечётных кандидатов: $888\,387$
Найдено пар близнецов: $20\,000$

Наблюдения:
Доля успеха (пары / нечётные кандидаты) $\approx 2{,}3\% - 2{,}6\%$
Простые числа в этой последовательности в каждом 5-м случае образуют пару близнецов.

Известна ли подобная конструкция?

Спасибо.

[Cantata]

Первые числа получаются: 11, 17, 24, 32, 41 и т.д.

[wrest]

Cantata
Прямая формула $ a_k=\dfrac{k^2 + 5k - 2}{2}$ с некоторым смещением (11 получается при k=3)
Или $a_k=C_{2}^{k+6}-4$ это без смещения, $a_0=11$

[Cantata]

wrest
Спасибо за формулу!

Не совсем поняла, известно ли такое нахождение близнецов?
Правильно ли Дипсик помог мне посчитать? Он написал код по моей идее, а я даже не могу код толком проверить.
Хотела на форум загрузить, но ошибка вылезает.

[Dmitriy40]

А чем эта формула лучше простейшей $p=6k\pm1$?
Эта формула для первых 10млн $k$ выдаёт 86919 простых близнецов, а $6k\pm1$ для тех же $k$ выдаёт 280557 простых близнецов, втрое больше однако.

-- 25.04.2026, 13:22 --

Cantata в сообщении #1723205 писал(а):

Нечётных кандидатов: $888\,387$
Найдено пар близнецов: $20\,000$

Формула $6k\pm1$ для $888387$ первых значений $k$ выдаёт $34236$ простых близнецов, тоже заметно больше.

Если формулу улучшить до $8k^2+10k\pm1$, то для первых 10млн $k$ она выдаёт уже 145354 простых близнецов, что всё ещё вдвое меньше простейшей формулы.

[Cantata]

Dmitriy40

Ваша формула универсальная и ищет все подряд идущие простые близнецы.

Тот способ, что у меня получился, шагает иначе и последние пары из 20 000 близнецов находит уже среди 1,5трл.

Не знаю насколько такое нужно)

Первые 15 000 пар точно находятся в получаемых блоках, состоящих до 390 чисел.
Далее поиск до 20 000 пар требует уже диапазон - блок до 400 чисел, где гарантированно будут простые близнецы.

[Dmitriy40]

Cantata в сообщении #1723218 писал(а):

Тот способ, что у меня получился, шагает иначе и последние пары из 20 000 близнецов находит уже среди 1,5трл.

Так в чём смысл придуманной формулы? Забраться повыше в огромные числа? $6k\pm1$ и там будет значительно лучше и проще.
Выдать больше простых близнецов на фиксированное количество итераций по $k$ (т.е. выше заявленную плотность)? С этим не справляется.
Генерирует простые близнецы с повышенной плотностью - повышенной от чего? Простейшая формула генерирует ещё выше плотность.
Так всё же чем она лучше простейшей?

[Cantata]

Dmitriy40
Вы зачем-то пытаетесь меня убедить, что она хуже?
Но я и не утверждала, что она лучше) поэтому доказывать или опровергать ваше утверждение не буду) она просто другая.

[Dmitriy40]

Я пытаюсь понять смысл выделенных слов:

Cantata в сообщении #1723205 писал(а):

Случайно нашла эвристическую формулу, которая генерирует некоторых простых близнецов с неожиданно высокой плотностью.

По сравнению с чем высокой и почему неожиданно?

Так можно считать и $960k^2+36k\pm1$ тоже выдаёт простые близнецы с неожиданно высокой плотностью ...
А $6k^2+6k\pm1$ при тех же первых 10млн $k$ выдаёт даже больше простых близнецов (106133) чем Ваша формула.
И таких формул не счесть. И ничего неожиданного в них нет. Что неожиданного в Вашей?

[Cantata]

Dmitriy40
Наверное нужно сравнить формулы для одинакового количества кандидатов, найденных по формулам.

Компьютера нет под рукой, поэтому спросила у Алисы. Предварительно она оценила, что мой способ чуть-чуть чаще находит, чем формула с 960.. Но я не проверяла. Утверждать не берусь.

-- 25.04.2026, 15:03 --

И опять таки, мой способ - эвристика, нет гарантии, что с ростом количества кандидатов в простые близнецы, они будут находиться. Поэтому я ничего не могу утверждать.

[wrest]

Cantata в сообщении #1723225 писал(а):

Компьютера нет под рукой, поэтому спросила у Алисы.

Достаточно браузера, копипастите код DeepSeek-а в онлайн транслятор и получаете ответ.
Браузер же есть у вас?

[Dmitriy40]

Cantata в сообщении #1723225 писал(а):

Предварительно она оценила, что мой способ чуть-чуть чаще находит, чем формула с 960..

С 960 - да, реже, на первые 10млн $k$ всего 73450 простых близнецов (против ваших 86919).
А формула $6k^2+6k\pm1$ - нет, чаще вашей, на первые 10млн $k$ находит 106133 простых близнецов.
А формула $12k^2+12k\pm1$ ещё чаще, уже 120763 простых близнецов на первые 10млн $k$.
И таких формул - немало (формула и сколько она даёт простых близнецов на первые 10млн $k$):
$10k^2+20k\pm1: 128022$
$12k^2\pm1: 126932$
$18k^2\pm1: 142769$
$18k^2+6k\pm1: 101200$
$18k^2+12k\pm1: 104749$
$18k^2+18k\pm1: 87710$
$24k^2+6k\pm1: 162083$
$24k^2+12k\pm1: 97176$
$24k^2+18k\pm1: 121412$
$24k^2+48k\pm1: 150628$
$28k^2+70k\pm1: 152565$
$30k^2+30k\pm1: 155589$
$30k^2+60k\pm1: 154218$
$2k^2+40k\pm1: 249292$

Я так и не понял относительно чего у Вас "высокая плотность"?
И почему это неожиданно?

-- 25.04.2026, 16:24 --

А вот несколько формул, дающих действительно высокую плотность, выше простой $6k\pm1$:
$6k^2+102k\pm1: 286411$
$6k^2+816k\pm1: 285532$
$6k^2+1614k\pm1: 285583$
$12k^2+2700k\pm1: 331719$ - пока максимум
$12k^2+7530k\pm1: 290814$
$18k^2+120k\pm1: 325151$
$18k^2+2430k\pm1: 319623$
$18k^2+3900k\pm1: 318735$
$30k^2+4650k\pm1: 317566$
$54k^2+1248k\pm1: 297999$
$60k^2+90k\pm1: 307275$
$72k^2+4860k\pm1: 294951$
$96k^2+366k\pm1: 285564$

[Cantata]

wrest

Попозже с компьютера посмотрю, мне так проще)

Dmitriy40

В очередной раз поверила Дипсику, попросив его и Гемини несколько раз перепроверить это утверждение. Нужно было самой поискать. Спасибо за ликбез!

Возможно эту формулу можно улучшить и если получится, ещё вернусь с ней на форум)
А может у вас есть идея как её улучшить?

[Cantata]

Dmitriy40

Dmitriy40 в сообщении #1723227 писал(а):

$12k^2+2700k\pm1: 331719$ - пока максимум

Впечатляет!

Посмотрите, пожалуйста, такую формулу:

$33k^2+7425k\pm1$

при $100, 000 k: 6 983$ пар получилось,

при $1, 000, 000 k: 49 021$ пар, но эффективность падает.

Скорее всего при $10, 000, 000 k$ не войдет в десятку лидеров?
Мне такие величины уже никак не проверить.

[Dmitriy40]

Cantata в сообщении #1723260 писал(а):

Посмотрите, пожалуйста, такую формулу:

$33k^2+7425k\pm1: 365531$ - новый лидер.