Аликвотные дроби и произведение десяти правильных дробей

[gipokrat]

Существует ли аликвотная дробь (со знаменателем, превышающим 1), которую нельзя представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?

[Booker48]

gipokrat
$\frac{1}{k}=\frac{2^9}{k}\cdot\frac{1}{2}\cdot ... \cdot\frac{1}{2}$, если $k>512$.
Для оставшихся нужно просто выписать явные решения.

Или $\frac{1}{k}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot ... \cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{10}{k}$, если $k>10$

[ex-math]

Booker48
Развивая вашу идею, при достаточно большом $n$
$\frac1k=\frac n{nk}=\frac n{n+1}\cdot\frac{n+1}{n+2}\cdot\ldots\cdot\frac{n+8}{n+9}\cdot\frac{n+9}{nk}$

[Booker48]

Или
$\frac{1}{k}=\frac{10}{11}\cdot\frac{11}{12}\cdot ... \cdot\frac{18}{19}\cdot\frac{19}{10k}$

-- 25.04.2026, 12:33 --

Уважаемый ex-math опередил. )))

-- 25.04.2026, 12:39 --

То есть, любую аликвотную дробь можно представить в виде произведения любого наперед заданного числа правильных дробей.