Гипотеза Римана - где ошибка

[vicvolf]

Предположим, что не выполняется гипотеза Римана (ГР). Тогда существует ноль функции Римана вне критической прямой. Это означает, что существует полюс для обратной функции вне критической прямой. Запишем это.
Мы предположили:
$\rho_0 = \sigma_0 + it_0,\qquad \sigma_0 = \frac12 + \varepsilon > \frac12.$
То есть существует один ноль вне критической прямой.
Тогда:
- $1/\zeta(s)$ имеет полюс в точке $\rho_0$,
- аналитическое продолжение $1/\zeta(s)$ не может пройти левее $\Re s = \sigma_0$.
Теория Дирихле‑рядов говорит в этом случае, что:
- Дирихле‑ряд $\sum \mu(n)/n^s$ задаёт аналитическую функцию в области $\Re s > \sigma_0$.
- $M(x) = o(x^{\sigma_0})$,

ГР эквивалентна:
$M(x) = O(x^{1/2+\delta}) \quad \text{для любого }\delta>0.$
А мы получаем:
$M(x) = o(x^{1/2+\varepsilon})$
для фиксированного $\varepsilon>0$.
Далее из о-малого следует О-большое.
Таким образом выполняются условие ГР для любого $\varepsilon>0$.
Но это противоречит начальному предположение, что ГР не выполняется.
Поэтому, методом от противного, мы доказали, что ГР выполняется.

[Null]

vicvolf в сообщении #1722409 писал(а):

Таким образом выполняются условие ГР для любого $\varepsilon>0$.

У вас $\varepsilon$ не любое. Проверьте логику рассуждений еще раз.

[vicvolf]

Null в сообщении #1722412 писал(а):

vicvolf в сообщении #1722409 писал(а):

Таким образом выполняются условие ГР для любого $\varepsilon>0$.

У вас $\varepsilon$ не любое. Проверьте логику рассуждений еще раз.

Но я могу взять точку с любым $\varepsilon>0$ и получить такой результат.

[Gagarin1968]

vicvolf
Так Вы не получили противоречия.
Вы лишь получили подтверждение того, что если ноль находится в $\sigma_0$, то скорость роста $M(x)$ привязана именно к этой точке $\sigma_0$, что как раз и означает невыполнение гипотезы Римана для всех интервалов между $\dfrac 12$ и $\sigma_0$.
И Вы возвращаетесь к исходной посылке. Никакого противоречия нет.

[Null]

vicvolf в сообщении #1722415 писал(а):

Но я могу взять точку с любым $\varepsilon>0$ и получить такой результат.

Не можете, отрицание ГР - это существование хотя бы 1ой такой точки(т.е. возможно только одной).

[RIP]

vicvolf в сообщении #1722409 писал(а):

аналитическое продолжение $1/\zeta(s)$ не может пройти левее $\Re s = \sigma_0$.
Теория Дирихле‑рядов говорит в этом случае, что:
- Дирихле‑ряд $\sum \mu(n)/n^s$ задаёт аналитическую функцию в области $\Re s > \sigma_0$.

Нет. Из теории рядов Дирихле следует, что ряд $\sum \mu(n)n^{-s}$ расходится при $\operatorname{Re}(s)<\sigma_0$. Про сходимость (и аналитичность) при $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$ никакого вывода сделать нельзя.

[vicvolf]

Здесь есть нюанс. Абсцисса сходимости ряда Дирихле от функции Мебиуса зависит от справедливости гипотезы Римана. Если предполагать, что она верна, то она равна 0,5, а если предполагать, как я, что она не верна, то - 1. Поэтому в указанной точке ряд Дирихле расходится.

[RIP]

Нет, абсцисса сходимости равна точной верхней грани вещественных частей нулей дзета-функции. Если гипотеза Римана неверна, это может быть любым числом из $(1/2,1]$.

-- Чт 2026-04-16 03:01:44 --

Другими словами, отсутствие нулей при $\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$ равносильно сходимости ряда в этой области (а также тому, что $M(x)=O(x^{\sigma_0+\varepsilon})$ для любого $\varepsilon>0$).

[vicvolf]

Понял. Спасибо всем участникам!