Гипотеза Гольдбаха, нижняя оценка.

[kukonkov]

Здравствуйте.
В этой работе мы попробуем вывести формулы для проверки гипотезы Гольдбаха без непосредственного перебора.

Для чисел, кратных 6, существует формула, связывающая представление четного числа как суммы (h(N)) двух простых чисел и (x) двух составных чисел вида $6k+1$ и $6k-1$. (формула 1)

формула 1

При $ N-1 $ простом:

$\frac{N}{6}- (\pi(N) - 2) = x - h(N)$

При $ N-1 $ составном:

$\frac{N}{6} - 1 - (\pi(N) - 2) = x - h(N)$

Если известно количество простых чисел до N, можно определить разницу между представлениями четного числа в виде суммы двух простых и двух составных чисел, которые имеют вид $6k+1$ и $6k-1$.

Приравняв h(N) к нулю, мы получим минимальное количество составных пар, дающих в сумме N, при котором гипотеза не выполняется. Если таких пар больше, то гипотеза выполняется.

Поскольку $\frac{N}{6}- (\pi(N) - 2)>\frac{N}{6} - 1 - (\pi(N) - 2)$

Далее мы будем сравнивать результаты только с $\frac{N}{6}- (\pi(N) - 2)$

Для выполнения гипотезы необходимо, чтобы значение левой части неравенства было меньше нуля.

$\frac{N}{6} - (\pi(N) - 2) < 0$

Это условие выполняется на интервале от 6 до 960.

Для проверки гипотезы нужно найти составные пары заданного вида. Для этого найдем пары, в которых одно из слагаемых делится на 5.

$\frac{N}{3 \cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1}-C$

Где С - погрешность, далее мы ее вычислим для каждой формулы отдельно.

Подставим в формулу 1.

$\text{НОД}(N, 5) = 1$

$\frac{N}{6} - (\pi(N) - 2) < \frac{N}{3 \cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1} - 5{,}40$

С новыми условиями проверим, на каком интервале гипотеза будет верна.

Это условие выполняется на интервале от 960 до 4404.

Далее выберем пары, где одно из чисел делится на 7, и сложим их с парами, где одно из чисел делится на 5. Для этого воспользуемся формулой включений-исключений.

$\text{НОД}(N, 5, 7) = 1$

$\frac{N}{6} - (\pi(N) - 2) < \frac{N}{3 \cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1} + \left(\frac{N}{3 \cdot 7} - 1 - \frac{\pi(N)}{7-1}\right) - \frac{(2^{2-1}-1) \cdot N}{3 \cdot 5 \cdot 7} - \sum_{k=2}^{2} \frac{(2^{k-1}-1) \cdot 2!}{k! \cdot (2-k)!} - 24{,}38$

Это условие выполняется на интервале от 4404 до 31002.

Продолжая добавлять новые простые в формулу мы приходим к следующему.

$\text{НОД}(N, 5, 7, 11) = 1$

$\frac{N}{6} - (\pi(N) - 2) < \frac{N}{3 \cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1} + \left(\frac{N}{3 \cdot 7} - 1 - \frac{\pi(N)}{7-1}\right) + \left(\frac{N}{3 \cdot 11} - 1 - \frac{\pi(N)}{11-1}\right) - (2^{2-1}-1)\left(\frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 11} + \frac{N}{3 \cdot 7 \cdot 11}\right) + (2^{3-1}-1)\frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} - \sum_{k=2}^{3} \frac{(2^{k-1}-1) \cdot 3!}{k! \cdot (3-k)!} - 200$

Это условие выполняется на интервале от 31002 до 558384.

$\text{НОД}(N, 5, 7, 11, 13) = 1$

$\frac{N}{6} - (\pi(N) - 2) < \frac{N}{3 \cdot 5} - 1 - \frac{\pi(N)}{5-1} + \left(\frac{N}{3 \cdot 7} - 1 - \frac{\pi(N)}{7-1}\right) + \left(\frac{N}{3 \cdot 11} - 1 - \frac{\pi(N)}{11-1}\right) + \left(\frac{N}{3 \cdot 13} - 1 - \frac{\pi(N)}{13-1}\right) - (2^{2-1}-1)\left(\frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 11} + \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 13} + \frac{N}{3 \cdot 7 \cdot 11} + \frac{N}{3 \cdot 7 \cdot 13} + \frac{N}{3 \cdot 11 \cdot 13}\right) + (2^{3-1}-1)\left(\frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} + \frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13} + \frac{N}{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}\right) - (2^{4-1}-1)\frac{N}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13} - \sum_{k=2}^{4} \frac{(2^{k-1}-1) \cdot 4!}{k! \cdot (4-k)!} - 1000$

Это условие выполняется на интервале от 558384 до 201358506.

Общая формула.

$\gcd(N, 5, 7, 11, 13, \ldots, p_m) = 1$

$\frac{1}{3}\left(\sum_{p_1=5}^{p_m} \left\lfloor \frac{N}{p_1} \right\rfloor - \sum_{p_1=5}^{p_m} (2^{2-1}-1)\left\lfloor \frac{N}{p_1 \cdot p_2} \right\rfloor + \cdots + (-1)^{m-1} \sum_{p_1=5}^{p_m} (2^{k-1}-1)\left\lfloor \frac{N}{p_1 \cdot p_2 \cdots p_m} \right\rfloor\right) - \sum_{p_1=5}^{p_m} \frac{\pi(N)}{p_1-1} - \sum_{k=2}^{m} \frac{(2^{k-1}-1) \cdot m!}{k! \cdot (m-k)!} - C > \frac{N}{6} - (\pi(N) - 2)$

-- 10.04.2026, 06:12 --

пс, при попытке ввести больше текста, редактор виснет

[Someone]

kukonkov в сообщении #1721962 писал(а):

при попытке ввести больше текста, редактор виснет

Размер сообщения ограничен. Если правильно помню, $20\,000$ символов. Где-то в правилах форума должно быть написано. Но можно написать несколько сообщений с интервалом в один час между сообщениями (чтобы не склеивались).