Почему у Насти не могла получиться точная степень?

[gipokrat]

Настя утверждает, что умножила простое число, отличное от 3, на 8, к результату прибавила 1 и получила точную степень (выше первой) некоторого натурального числа. Докажите, что утверждение Насти не может быть верным.

[EUgeneUS]

$8p+1 = n^k$

Случай $p=2$ проверяется, не подходит. $p > 3$

$8p= n^k - 1 = (n-1)(n^{k-1}+n^{k-2} + ... +1)$

Для натуральных $n$: $(n-1) < (n^{k-1}+n^{k-2} + ... +1)$
$n$ - обязательно нечетное, $(n-1)$ - обязательно четное.

И тогда есть всего три варианта:
1. $(n-1) = 8, (n^{k-1}+n^{k-2} + ... +1) = p$
$n=7$, $k$ - нечетное.
$7^{2m+1} \mod 8 \equiv 7$, а $(8p+1)\mod 8 \equiv 1$. $n=7$ не подходит.

2. $(n-1) = 4, (n^{k-1}+n^{k-2} + ... +1) = 2p$
$n=5$, $k$ - четное.
...

3. $(n-1) = 2, (n^{k-1}+n^{k-2} + ... +1) = 4p$
$n=3$, $k$ - четное.
...

-- 09.04.2026, 11:28 --

Для $n=3,5$ проверяем $k=2$:

а) $8p+1 = 9, p=1$ (не считается простым)
б) $8p+1 = 25, p=3$ (исключено в условиях)

Для $n=3,5$ проверяем $k=2m, m >1$:

а) $8p = n^{2m}-1 = (3-1)(3^m+1)(3^{m-1}+...+1)$
$4p = n^{2m}-1 = (3^m+1)(3^{m-1}+...+1)$
Варианты:
одна из скобок должна быть либо равна 2, чего не может быть в силу $m >1$
$(3^m+1) = 4$, чего не может быть в силу $m >1$
$(3^{m-1}+...+1)=4$, не может быть, так как $(3^m+1)$ - четное

б) $8p = 5^{2m}-1 = (5-1)(5^m+1)(5^{m-1}+...+1)$
$2p = (n^m+1)(n^{m-1}+...+1)$, одна из скобок должна быть равна 2, чего не может быть в силу $m >1$

[gipokrat]

EUgeneUS
Большое спасибо!