Дифференциал в геометрической алгебре

[exlt]

Добрый вечер!

Есть у меня хобби в виде геометрической алгебры (ГА). Иногда под настроение пишу на Хабр. Но там программисты, и там тема явно не вызывает ажиотажа, так как не влечет сиюсекундного практического применения. Но идея обобщить комплексные числа не теряя геометрический смысл в абстракции, мне все равно кажется интересной. Написал там статью, в которой в виде конечных разностей создается конструкция, которая при предельном переходе дает альтернативный способ ввести дифференциал, который равен классическому из матанализа, при соблюдении одного условия.URL Альтернативный способ задать дифференциал в геометрической алгебре. Обычное определение дифференциала в ГА гораздо сложнее, вводится оно через трехмерный интеграл.

Один из комментариев к статье наиболее лаконично выразил идею так: Вы берёте конечные разности, собираете из них локальный «градиентный» вектор и умножаете его на произвольное смещение внутри ячейки. Скалярная часть даёт обычное направленное приращение первого порядка, бивекторная — естественную меру непараллельности смещения и дискретного градиента.

Вопрос к специалистам:
Подскажите, пожалуйста, какие видите сильные и слабые стороны такого подхода?
Чем можно дополнить сильные стороны?

В сухой выжимке - формула простая:
$\delta_g f = \delta f_{\|} + I\;\delta f_{\perp}$

Дельта означает дискретное приращение (в пределе приращение - дифференциал), I=σ1σ2σ3 - единичный тривектор (аналог мнимой единицы в ГА), σ1,σ2,σ3 - патрицы Паули (орты декартовых координат в ГА), Индекс g означает обобщенный дифференциал. Его часть параллельная градиентному вектору это обычный дифференциал из матанализа, его часть ортогональная градиентному вектору, это естественная мера отклонения приращения функции от градиентного вектора.

Ортогональная часть дискретного дифференциала:
$\delta f_{\perp} = \left( \Delta_y(f) \; \frac{\delta z}{\Delta z} - \Delta_z(f) \; \frac{\delta y}{\Delta y} \right) \; \sigma_3 + \left( \Delta_x(f) \; \frac{\delta z}{\Delta z}-\Delta_z(f) \; \frac{\delta x}{\Delta x} \right) \; \sigma_2 + \left( \Delta_x(f) \; \frac{\delta y}{\Delta y} - \Delta_y(f) \; \frac{\delta x}{\Delta x} \right) \cdot \sigma_1$

Градиентный вектор, записанный в конечных разностях:
$\Delta(f) = \Delta_x f\,\sigma_3 + \Delta_y f\,\sigma_2 + \Delta_z f\,\sigma_1$


Пишу на dxdy, прошу меня простить, если что то не так оформил. Всю статью не стал сюда преписывать.