Дифференциал в геометрической алгебре

[exlt]

Добрый вечер!

Есть у меня хобби в виде геометрической алгебры (ГА). Иногда под настроение пишу на Хабр. Но там программисты, и там тема явно не вызывает ажиотажа, так как не влечет сиюсекундного практического применения. Но идея обобщить комплексные числа не теряя геометрический смысл в абстракции, мне все равно кажется интересной. Написал там статью, в которой в виде конечных разностей создается конструкция, которая при предельном переходе дает альтернативный способ ввести дифференциал, который равен классическому из матанализа, при соблюдении одного условия.URL Альтернативный способ задать дифференциал в геометрической алгебре. Обычное определение дифференциала в ГА гораздо сложнее, вводится оно через трехмерный интеграл.

Один из комментариев к статье наиболее лаконично выразил идею так: Вы берёте конечные разности, собираете из них локальный «градиентный» вектор и умножаете его на произвольное смещение внутри ячейки. Скалярная часть даёт обычное направленное приращение первого порядка, бивекторная — естественную меру непараллельности смещения и дискретного градиента.

Вопрос к специалистам:
Подскажите, пожалуйста, какие видите сильные и слабые стороны такого подхода?
Чем можно дополнить сильные стороны?

В сухой выжимке - формула простая:
$\delta_g f = \delta f_{\|} + I\;\delta f_{\perp}$

Дельта означает дискретное приращение (в пределе приращение - дифференциал), I=σ1σ2σ3 - единичный тривектор (аналог мнимой единицы в ГА), σ1,σ2,σ3 - патрицы Паули (орты декартовых координат в ГА), Индекс g означает обобщенный дифференциал. Его часть параллельная градиентному вектору это обычный дифференциал из матанализа, его часть ортогональная градиентному вектору, это естественная мера отклонения приращения функции от градиентного вектора.

Ортогональная часть дискретного дифференциала:
$\delta f_{\perp} = \left( \Delta_y(f) \; \frac{\delta z}{\Delta z} - \Delta_z(f) \; \frac{\delta y}{\Delta y} \right) \; \sigma_3 + \left( \Delta_x(f) \; \frac{\delta z}{\Delta z}-\Delta_z(f) \; \frac{\delta x}{\Delta x} \right) \; \sigma_2 + \left( \Delta_x(f) \; \frac{\delta y}{\Delta y} - \Delta_y(f) \; \frac{\delta x}{\Delta x} \right) \cdot \sigma_1$

Градиентный вектор, записанный в конечных разностях:
$\Delta(f) = \Delta_x f\,\sigma_3 + \Delta_y f\,\sigma_2 + \Delta_z f\,\sigma_1$


Пишу на dxdy, прошу меня простить, если что то не так оформил. Всю статью не стал сюда преписывать.

[WasterWentor]

Друзья, тема мне интересна. Это векторный анализ - простая математика, лежащая в базе вычислений от теории упругости - до неросетей. В Советсктм Союзе эта школа была в 1930-1950е, а на сегодня всё скатилось к алгебраистике с "проблемами" вроде "найти наибольший общий делитель" чисел.

Вот мои соображения конкретно по этой статье :

В статье развиты идеи нестандартного анализа.

Цитата:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гипервещественное_число

Термин «гипервещественное число» предложен американским математиком Эдвином Хьюиттом в 1948 году. Теорию поля гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы Абрахам Робинсон, который назвал её «нестандартным анализом».

Теория гипервещественных чисел даёт строгий подход к исчислению бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые в этом случае, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе реабилитируется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании актуальных бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины.

Ключевые особенности НА:

-- Принцип переноса: Любое математическое утверждение верное для обычных чисел, остается верным и для гипервещественных. Это позволяет переносить правила алгебры на бесконечно малые.

-- Стандартная часть - st: Операция st() «округляет» гипервещественное число до ближайшего обычного. Что заменяет процедуру вычисления предела.

Выгоды НА:

– Функция непрерывна, если бесконечно малое изменение аргумента вызывает бесконечно малое изменение значения

– Дифференциалы dx и dy становятся реальными числами, а не символами. Их можно делить, умножать и сокращать, как в обычной школе.

– Геометрическая наглядность: Криволинейная трапеция действительно состоит из бесконечно тонких прямоугольников. Это больше не метафора.

– Связь с производной: Основная теорема анализа (Ньютона-Лейбница) доказывается почти автоматически: мы просто суммируем бесконечно малые приращения функции df, и их сумма дает общее приращение f(b)-f(a)

В статье используется инвариантность формы первого дифференциала. В нестандартном анализе это следствие того, что dy = f’(x)dx — это прямое равенство между числами. Это позволяет строить геометрические выводы (через ориентированные объемы и векторы), оперируя приращениями как физическими векторами, а не переменными “стремящимися к нулю”.

Но хотелось бы послушаль плюсы/минусы и проверку логики из статьи от профессионалов, конечно, умеющих читать математику чуть дальше алгебраистики над элементарными множествами.