Экстремум функции нескольких переменных. Критерий Сильвестра

[sydorov]

В стационарной точке $z_{xx}z_{yy} - z_{xy}^2 = 0$

Подскажите, пожалуйста, в каком источнике хорошо описано, как проводится исследование в подобных случаях?

[mihiv]

Источник не могу посоветовать, но, видимо, нужно в разложении функции по формуле Тэйлора в стационарной точке учесть слагаемые следующего порядка малости. Так , учитывая слагаемые третьего порядка, получим необходимое условие экстремума: все производные третьего порядка в стационарной точке должны быть равны 0.

[Red_Herring]

mihiv в сообщении #1721389 писал(а):

Так , учитывая слагаемые третьего порядка, получим необходимое условие экстремума: все производные третьего порядка в стационарной точке должны быть равны 0.

Это было бы верно если все производные второго порядка были бы равны 0. А если только квадратичная форма вырождена, то необходимо чтобы третья производная вдоль вырождения равна 0. "Многогранники Ньютона" в помощь. Стоит помнить, что при вырождении квадратичной формы очень странные фазовые картинки лезут. Например $z=x^2-y^3$

[mihiv]

Red_Herring в сообщении #1721392 писал(а):

А если только квадратичная форма вырождена, то необходимо чтобы третья производная вдоль вырождения равна 0.

В случае вырожденной квадратичной формы для функции двух переменных $z(x,y)$ можно исследовать стационарную точку $M_0(x_0,y_0)$ на экстремум так. Запишем изменение функции при переходе из точки $M_0$ в точку $M(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ по формуле Тэйлора:

$$\Delta z=\Delta _2+\Delta _3+\dots +\Delta _n , \Delta _n=\frac 1{n!}\left (\Delta x\frac {\partial }{\partial x}+\Delta y\frac {\partial }{\partial y}\right )^nz (1), \Delta x=\rho \cos \varphi ,\Delta y=\rho \sin \varphi ,\rho =\sqrt {(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$

Дифференцирование в формуле $(1)$ применяется только к $z$.Тогда $\Delta _2=\frac {\rho ^2}{2!}\left (\cos ^2\varphi a_{11}+2\cos \varphi \sin \varphi a_{12}+\sin ^2\varphi a_{22}\right ),a_{11}=z''_{xx},a_{12}=z''_{xy}$и т.д. в точке $M_0$. Если $a_{11}a_{22}-a^2_{12}=0$, то $|a_{12}|=a_{11}a_{22}$ и $\Delta _2=0$ при некотором $\varphi =\varphi _1$ и $\varphi _1+\pi $. Дальше нужно проверить (начиная с номера три в порядке возрастания $k$), какое из $\Delta _k(\varphi _1)\neq 0$ впервые. Если это $\Delta _k$ с нечетным номером, то экстремума нет, если с четным, то возможны оба случая (при совпадении знаков $\Delta _2$, (там ,где она не равна $0$) и $\Delta _k$ экстремум есть), если знаки разные -экстремума нет.

[sydorov]

Джентльмены, приношу тысячу извинений за то, что не отреагировал на первые сообщения. Не увидел их. Огромное спасибо за подсказки, буду пробовать.

[Red_Herring]

sydorov в сообщении #1722127 писал(а):

Джентльмены, приношу тысячу извинений за то, что не отреагировал на первые сообщения. Не увидел их. Огромное спасибо за подсказки, буду пробовать.

Если есть что-то конкретное, его и исследуйте, а общую теорию создавать советую:варианты размножаются как кролики с ростом размерности и порядка вырождения.