Расширение Q(pi^3)

[Dedekind]

Назовите расширение $\mathbb{Q}$, над которым $\pi$ будет алгебраическим порядка 3.

Понятное дело, что $\pi$ алгебраическое над $\mathbb{Q}(\pi^3)$. Теперь я так понимаю, нужно доказать, что ни один полином степени меньше 3 в $\mathbb{Q}(\pi^3)[x]$ не будет иметь $\pi$ в качестве корня?

Если да, то я делал так, но может есть путь попроще. Докажем, что $\pi\notin \mathbb{Q}(\pi^3)$. По доказанной ранее теореме, $\mathbb{Q}(\pi^3)$ состоит из рациональных выражений вида $\dfrac{a_n(\pi^3)^n + \dots + a_0}{b_m(\pi^3)^m + \dots + b_0}$ (со знаменателем не равным нулю). Допустим, $\pi\in \mathbb{Q}(\pi^3)$. Тогда

$$\pi = \dfrac{a_n(\pi^3)^n + \dots + a_0}{b_m(\pi^3)^m + \dots + b_0}$$

$$a_n(\pi^3)^n + \dots + a_0 - b_m\pi^{3m+1} - \dots - b_0\pi = 0$$

Поскольку степени $\pi$ в первой части не совпадают со степенями во второй части, то выражение может равняться нулю, только если все коэффициенты нулевые, что противоречит предположению. Следовательно, $\pi\notin \mathbb{Q}(\pi^3)$.

Тогда, $\pi$ не может быть коренем полинома первой степени в $\mathbb{Q}(\pi^3)[x]$. Пусть $\pi$ - корень полинома $x^2 + bx + c \in \mathbb{Q}(\pi^3)[x]$. Тогда он делится на $x-\pi \in \mathbb{Q}(\pi^3)[x]$, что, опять же, невозможно. Следовательно, минимальным полиномом для $\pi$ будет $x^3 - \pi^3$.