"Как с этим работать?"

[EminentVictorians]

В теоретико-множественном подходе объекты определяются через построение. Действительное число - это класс эквивалентности таких-то последовательностей. Функция - это такое-то множество упорядоченных пар. Топология - это такое-то подмножество булеана. И т.д. То есть внимание акцентируется на том, "что такое X".

А существуют ли подходы, где мы особо не вникаем во внутреннюю структуру объекта? То есть мы больше думаем не о том, "что это за объект" (что он из себя представляет, как он построен), а о том, "как с этим объектом работать". В идеале хотелось бы уметь работать с объектами, вообще не имея понятия об их внутренней структуре (может быть даже не умея давать определение таким объектам, по крайней мере в привычном смысле).

У меня есть пара гипотез, например, что нечто похожее реализовано в теории категорий (особенно, если брать её объекты и стрелки в качестве атомарных). Наверное какие-то аналогии прослеживаются с конструктивной математикой. В общем, если не сложно, подскажите, куда копать.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1721082 писал(а):

А существуют ли подходы, где мы особо не вникаем во внутреннюю структуру объекта? То есть мы больше думаем не о том, "что это за объект" (что он из себя представляет, как он построен), а о том, "как с этим объектом работать".

По-моему, аксиоматические определения так и работают. Группа - это то, что подчиняется аксиомам группы. Действительные числа - это то, что подчиняется аксиомам действительных чисел. Сведение всего подряд к множествам - это не более чем способ выразить определения из разных областей математики на одном языке. Для вопросов теории групп совершенно не важно, как мы формализуем групповую операцию: как упорядоченную тройку множеств, как стрелку в категории или как черта в ступе. Решение задач Коуровской тетради от этого не зависит.

[EminentVictorians]

Anton_Peplov в сообщении #1721083 писал(а):

Группа - это то, что подчиняется аксиомам группы.

Группа - это множество, подчиняющееся аксиомам группы, в этом проблема. Аксиомы группы выделяют класс объектов, каждый из которых является множеством.

Вот есть у нас группа $(\mathbb R, +)$ действительных чисел по сложению. Это конкретный объект. Проблема в том, что в рамках теории множеств осмысленно задать вопрос "что этот объект представляет собой как множество". Он представляет собой упорядоченную пару (то есть множество из синглетона $\{\mathbb R\}$ и пары $\{\mathbb R, +\}$), где элементом синглетона является тоже множество, построенное, например, из классов эквивалетности каких-то последовательностей вида $\mathbb N -> \mathbb Q$ ну и так далее. Короче говоря, этот конкретный объект имеет внутреннюю структуру (которая существенно используется при доказательстве теорем относительно этого объекта).

Вы же не можете просто сказать, что действительные числа - это то, что подчиняется аксиомам действительных чисел, а потом сразу начать с ними работать. Вам прежде необходимо удостовериться, что эти аксиомы хотя бы непротиворечивы (т.е. что хотя бы одна модель $\mathbb R$ вообще есть).

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1721087 писал(а):

Это конкретный объект. Проблема в том, что в рамках теории множеств осмысленно задать вопрос "что этот объект представляет собой как множество".

Ну так работайте не с конкретными объектами, а с формальными теориями, без рассмотрения моделей. Сформулировать можно будет ровно то, что выражается в языке теории. Доказательства будут чисто синтаксическими в соответствующей логике. Кстати, конструктивная математика от обычной в этом плане ничем не отличается: точно так же есть формальные теории, есть их теоретико-множественные (и не только) модели, есть формальные теории натуральных чисел и множеств.

Например, в формальной теории групп (моделями которой и называются группы) вы можете сформулировать утверждение "если x^2 = 1 тождественно, то группа абелева". Но не можете сформулировать теорему Лагранжа и не можете рассматривать никакие совокупности групп (в том числе нельзя говорить про гомоморфизмы и свободные произведения).

EminentVictorians в сообщении #1721087 писал(а):

Вам прежде необходимо удостовериться, что эти аксиомы хотя бы непротиворечивы (т.е. что хотя бы одна модель $\mathbb R$ вообще есть).

Вообще не обязательно. С ZFC же работают, никак не доказывая непротиворечивость.

[Anton_Peplov]

EminentVictorians в сообщении #1721087 писал(а):

Группа - это множество, подчиняющееся аксиомам группы, в этом проблема.

Плевать хотели алгебраисты, множество это, класс, категория или что-то еще. Хоть куча. Подойдет любая формализация неформального понятия "совокупность". Выбор формализации никак не влияет на решение задач теории групп.

EminentVictorians в сообщении #1721087 писал(а):

Вы же не можете просто сказать, что действительные числа - это то, что подчиняется аксиомам действительных чисел, а потом сразу начать с ними работать. Вам прежде необходимо удостовериться, что эти аксиомы хотя бы непротиворечивы.

Нет, не необходимо. Я Вам больше скажу, математики начали работать с действительными числами задолго до того, как задумались, нужны ли этим числам какие-то аксиомы. А уж непротиворечивость вообще история сложная. Непротиворечивость бывает у формальной теории и зависит не только от содержательных аксиом, но и от логических аксиом и правил вывода. ЕМНИП, Гильберт формализовал аксиомы $\mathbb R$ и доказал, что эта формализация непротиворечива, если и только если непротиворечива арифметика Пеано. Доказать ее непротиворечивость можно только в метатеории, а для этого нужно сперва договориться, какие метатеоретические доказательства нас устроят.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1721087 писал(а):

Проблема в том, что в рамках теории множеств осмысленно задать вопрос "что этот объект представляет собой как множество".

Осмысленно, но, как правило, совершенно не интересно. Конкретное устройство модели несущественно.

Множество действительных чисел имеет много разных моделей. Если Вы, используя одну теоретико-множественную модель, убедились, что все аксиомы выполняются и теория действительных чисел непротиворечива (в предположении, что использованная теория множеств непротиворечива), то далее про конкретную модель можете спокойно забыть. И рассматривать просто абстрактное "множество $\mathbb R$", удовлетворяющее всем нужным аксиомам.

Кстати, в алгебре в ряде случаев множеств недостаточно, и нужны классы. Например, многообразие групп не является множеством.

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1721089 писал(а):

Плевать хотели алгебраисты, множество это, класс, категория или что-то еще. Хоть куча. Подойдет любая формализация неформального понятия "совокупность". Выбор формализации никак не влияет на решение задач теории групп.

Для большей части теории групп всё-таки нужна именно классическая теория множеств, не обязательно формальная. Конечные группы в абстрактной категории не определить, топологии и порядки на группах тоже не определить.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1721088 писал(а):

С ZFC же работают, никак не доказывая непротиворечивость.

Потому что ZFC - это самый фундамент, в него только верить и остается. То есть мы минимизируем число вещей, в которые мы верим (до вот этих 8-9 аксиом ZFC).

dgwuqtj в сообщении #1721088 писал(а):

Ну так работайте не с конкретными объектами, а с формальными теориями, без рассмотрения моделей.

Не нравятся мне эти формальные теории, у меня плохо получается с ними работать... И непонятно, как связывать результаты из одной теории с объектами из другой. Плюс надо очень жестко следить, какая логика, какой алфавит, чем можно и нельзя пользоваться, забыть всю привычную теоретико-множественную семантику.

Someone в сообщении #1721091 писал(а):

Если Вы, используя одну теоретико-множественную модель, убедились, что все аксиомы выполняются и теория действительных чисел непротиворечива (в предположении, что использованная теория множеств непротиворечива), то далее про конкретную модель можете спокойно забыть.

В этом и проблема, что хотя бы один раз убеждаться все равно надо. Я вижу проблему здесь в том, что теоретико-множественный язык слишком выразительный. Был бы язык послабее, вдруг бы можно было получить (из самой этой слабости языка) какие-то гарантии на непротиворечивость аксиом без явного построения моделей.


Какой-то общий фрэймворк все равно нужен. Но хочется чтобы объекты определялись не своим внутренним строением, а как-то по-другому.

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1721094 писал(а):

Не нравятся мне эти формальные теории, у меня плохо получается с ними работать... И непонятно, как связывать результаты из одной теории с объектами из другой.

Никак. А зачем Вам такое безобразие? На формальном уровне нужна формальная теория, способная интерпретировать обе рассматриваемые теории. И зачем Вам работать непременно с формальными теориями, если Вы не занимаетесь какими-нибудь исследованиями в математической логике?

EminentVictorians в сообщении #1721094 писал(а):

Я вижу проблему здесь в том, что теоретико-множественный язык слишком выразительный. Был бы язык послабее, вдруг бы можно было получить (из самой этой слабости языка) какие-то гарантии на непротиворечивость аксиом без явного построения моделей.

Послабее? Арифметика Пеано эквивалентна теории наследственно конечных множеств. Если ваша формальная теория позволяет интерпретировать арифметику Пеано, то она неполна и, в частности, её непротиворечивость её собственными средствами недоказуема (по второй теореме Гёделя).
Этот факт обычно интерпретируют неправильно. В формальной теории невозможно даже сформулировать утверждение о её непротиворечивости, для этого нужна метатеория, в которой описана данная формальная теория (обычно это естественный язык). Гёдель, пользуясь возможностью интерпретировать арифметику, определённым образом нумерует формулы теории, превращая утверждение о непротиворечивости в арифметическое утверждение. Это утверждение оказывается недоказуемым в рассматриваемой формальной теории. Но, чтобы понять, что это утверждение о непротиворечивости, нужно вернуться в метатеорию, а она, естественно, внутри формальной теории недоступна.

Можно ли в теории действительных чисел обойтись наследственно конечными множествами?

[dgwuqtj]

EminentVictorians в сообщении #1721094 писал(а):

Какой-то общий фрэймворк все равно нужен. Но хочется чтобы объекты определялись не своим внутренним строением, а как-то по-другому.

Возьмите теорию множеств с атомами ("урэлементами"). Можно ещё добавить в неё примитивы для упорядоченных пар. Тогда $\mathbb R$ будет всё ещё определяться аксиоматически, как некое множество с операциями, но про природу его элементов вы уже не сможете сказать ничего. Они могут быть просто атомами. Хотя строить конкретную модель $\mathbb R$ всё равно придётся, если вам нужна теорема существования.

EminentVictorians в сообщении #1721094 писал(а):

Был бы язык послабее, вдруг бы можно было получить (из самой этой слабости языка) какие-то гарантии на непротиворечивость аксиом без явного построения моделей.

Чем слабее язык, тем меньше теорем вы сможете сформулировать. В арифметике первого порядка нет вещественных чисел, в арифметике второго порядка нет функциональных пространств и т.д. У вас какая цель вообще, переписать Фихтенгольца?

[Anton_Peplov]

dgwuqtj в сообщении #1721092 писал(а):

Конечные группы в абстрактной категории не определить, топологии и порядки на группах тоже не определить.

Хм, в теории категорий нет (независимого от множеств) понятия "конечная категория"? Ладно, Вам виднее. Мое знакомство с теорий категорий ограничивается первыми параграфами учебника, потом мне стало скучно.

EminentVictorians в сообщении #1721094 писал(а):

Я вижу проблему здесь в том, что теоретико-множественный язык слишком выразительный. Был бы язык послабее, вдруг бы можно было получить (из самой этой слабости языка) какие-то гарантии на непротиворечивость аксиом без явного построения моделей.

Даже язык арифметики Пеано "слишком" выразительный - точнее, достаточно выразительный для того, чтобы к ней применялась теорема Геделя о неполноте. Языки, к которым эта теорема неприменима, очень бедны и мало кого интересуют, кроме специалистов по логике и основаниям математики.

[EminentVictorians]

Someone в сообщении #1721096 писал(а):

И зачем Вам работать непременно с формальными теориями, если Вы не занимаетесь какими-нибудь исследованиями в математической логике?

Я и не работаю, меня более чем устраивает уровень строгости обычной неформальной теории множеств в духе какого-нибудь учебника типа Зорича. Вот язык её меня уже меньше устраивает.

Someone в сообщении #1721096 писал(а):

Арифметика Пеано эквивалентна теории наследственно конечных множеств. Если ваша формальная теория позволяет интерпретировать арифметику Пеано, то она неполна и, в частности, её непротиворечивость её собственными средствами недоказуема (по второй теореме Гёделя).

Это понятно, но это меня мало беспокоит. Меня вообще все эти матлогические теоремы (типа теорем Геделя) не особо заботят.

Меня теория множеств не устраивает тем, что её объекты имеют внутреннюю структуру. Я хочу, чтобы объекты по умолчанию не имели внутренней структуры. Объкты должны быть черными ящиками. В идеале сам язык этой гипотетической теории не должен позволять задаваться вопросами о внутреннем устройстве объектов (ну или чтобы такие вопросы были просто бессмысленными). Объект должен определяться тем, что мы можем с ним делать, за какие ниточки мы его можем дергать извне. То есть допустим, натуральное число - это не какой-то там элемент какого-то (наименьшего индуктивного) множества, а просто какая-то неведомая зверушка, к которой мы умеем прибавлять 1. Разумеется, это все очень грубая аналогия, я не сказал, ни что такое 1, ни что такое прибавить, просто пытаюсь обрисовать мысль в общих чертах.

-- 27.03.2026, 15:54 --

Anton_Peplov в сообщении #1721098 писал(а):

Хм, в теории категорий нет (независимого от множеств) понятия "конечная категория"?

"В теории категорий" - это в ETCC? Если да, я бы поставил на то, что там конечность выразить можно (через какой-нибудь изоморфизм с NNO). Но это так, мысли в слух. Просто первоначально речь вроде шла про элементарную теорию группы, вот в ней конечность группы не выразить. Упд: а, все же про категории, а не про элементарную теорию группы. Это я невнимательно прочитал.

[dgwuqtj]

Anton_Peplov в сообщении #1721098 писал(а):

Хм, в теории категорий нет (независимого от множеств) понятия "конечная категория"? Ладно, Вам виднее. Мое знакомство с теорий категорий ограничивается первыми параграфами учебника, потом мне стало скучно.

Я писал немного о другом: если дана абстрактная достаточно хорошая категория, например, топос (хотя бы и категория пучков на топологическом пространстве), то в ней можно определить групповые объекты. Вот для этих объектов мы не можем сформулировать понятие мощности. То есть в категории у объектов нет понятия конечности и количества элементов.

Хотя абстрактная теория первого порядка, которая описывает категории, тоже очень бедная. Там есть два сорта, объекты и морфизмы, есть функции "взять начало морфизма", "взять конец морфизма" и "взять тождественный морфизм данного объекта", а также предикат "данные два морфизма композицируются в данный третий". В ней конечность не выразить. Так же, как и на языке формальной теории групп не выразить конечность группы.

-- 27.03.2026, 16:18 --

EminentVictorians в сообщении #1721099 писал(а):

"В теории категорий" - это в ETCC?

Нет, ETCC — это теория множеств, её теорией категорий никто не называет. Конечно, это расширение той теории первого порядка, которая описывает категории, и в ней у объектов как раз появляются мощности, но эти объекты ведут себя именно как множества. Можно, кстати, вместо теории множеств с урэлементами взять эту самую ETCC, там тоже у элементов множеств внутренней структуры нет.

[EminentVictorians]

dgwuqtj в сообщении #1721100 писал(а):

Нет, ETCC — это теория множеств

А не ETCS?

[Someone]

EminentVictorians в сообщении #1721099 писал(а):

Меня теория множеств не устраивает тем, что её объекты имеют внутреннюю структуру.

??? Я не понимаю, чем она Вам мешает. Просто не вспоминайте о ней, тем более, что теория множеств горазда строить самые разные модели чего угодно, и от внутренней структуры элементов модели абсолютно ничего не зависит.

EminentVictorians в сообщении #1721099 писал(а):

Объект должен определяться тем, что мы можем с ним делать, за какие ниточки мы его можем дергать извне. То есть допустим, натуральное число - это не какой-то там элемент какого-то (наименьшего индуктивного) множества, а просто какая-то неведомая зверушка, к которой мы умеем прибавлять 1.

И на здоровье. Я тоже смотрю на натуральные числа именно так. И на рациональные, и на алгебраические, и на действительные, и на комплексные, и на всякие прочие. Как устроены их модели в теории множеств — абсолютно неважно. Тем более, что для одного и того же можно настроить тьму разных моделей с совершенно разной структурой элементов.

Более того, арифметика Пеано первого порядка имеет модели сколь угодно большой мощности при полном выполнении всех аксиом.

dgwuqtj в сообщении #1721100 писал(а):

Хотя абстрактная теория первого порядка, которая описывает категории, тоже очень бедная. Там есть два сорта, объекты и морфизмы, есть функции "взять начало морфизма", "взять конец морфизма" и "взять тождественный морфизм данного объекта", а также предикат "данные два морфизма композицируются в данный третий". В ней конечность не выразить. Так же, как и на языке формальной теории групп не выразить конечность группы.

С понятием конечности в теориях первого порядка вообще всё плохо. Понятие конечности невозможно определить никаким набором аксиом: если теория имеет сколь угодно большие конечные модели, то она имеет и бесконечную модель.