Формализация одной задачи

[Gargantua]

Здравствуйте, форумчане.
На бесконечной клетчатой доске в некоторых клетках сидят кузнечики. За ход кузнечик может перепрыгнуть через смежного по клетке кузнечика на следующую в ряду свободную клетку. Тот кузнечик, через которого перепрыгнули, убирается с доски. Вопрос заключается в том, может ли остаться один кузнечик в результате некоторой последовательности прыжков всех кузнечиков на доске. Для некоторых частных фигур из кузнечиков (квадратов и прямоугольников) задача полностью решена (если все стороны не кратны 3, то можно, иначе - нельзя. Доказательство невозможности было сделано при помощи трёхцветной раскраски), а также было найдено необходимое условие для произвольной фигуры. С произвольными фигурами размышления уже идут туго. Как вы считаете, допускает ли задача алгебраическую формализацию? Можно ли ввести группу движений в данной задаче или как-то профакторизовать исходное множество?

[pavelyoung]

Насчет последних двух вопросов не могу ответить, но задачу можно переформулировать так:
На бесконечной клеточной доске (можно сказать $\mathbb{Z}^2$) есть множество кузнечиков $K$ (лучше будем их называть не "кузнечиками", а включенные клетки)
Можно брать любые тройки чисел $X$ вида $(x, y), (x+1, y), (x+2, y)$ или $(x, y), (x, y+1), (x, y+2)$, и если $|X \cap K|=2$ (две клетки включены) и "средняя" из них $\in K$, то тогда из множества $K$ можно убрать все те, которые раньше входили в $X$, и добавить тех, которые до этого не входили в $X$. Не уверен, приведет ли это к результату или нет, но есть видео (правда на английском), в котором решают похожую задачу, только более простую
[
Solving Lights Out Puzzles | Light Chasing vs Linear Algebra]
https://youtu.be/rQtRK-AJOGg?si=xov4F9uD4os5zI6B