Рационормальные числа

[staric]

Навеяно одной из предыдущих тем.
Для числа $x_m$ (запись $x$ в позиционной системе по основанию $m$) строим числа $x_m(n)$ следующим образом: первые $n$ знаков совпадают с $x_m$ , затем, если n-ная цифра равна k, заменяем k последующих знаков нулями, оставляем (n+k+1)-ю цифру, допустим, равную l, меняем l последующих знаков нулями, оставляем (n+k+l+2)-ю цифру и т.д. Например, $\pi_{10}(2)=3, 1010900000 0000300040 0003000200... $, $\pi_3(2)=10,0102000102 0001020000 2001010200... $.
Назовем число х рационормальным по основанию $m$, если для всех натуральных $n$ разность $x_m(1)-x_m(n)$ рациональна. Нетрудно видеть, что все нормальные числа рационормальны. То же (попробуйте доказать) касается и рациональных чисел.
Вопрос. Верно ли, что хотя бы одно из пары неотрицательных чисел $(x, x+0.5)$ рационормально по основанию 3?

[ИСН]

Что-то мне совсем не видно того, что нетрудно видеть. Понятно, что если две разные обрезанные версии одного числа допрыгали до одной и той же позиции, то дальше будут прыгать вместе; понятно также, что у нормальных большие шансы, что так случится, что наверное, они в каком-то смысле "почти все" здесь... но чтобы прямо все?
С рациональными-то тривиально. Там все обрезанные тоже будут рациональными.

[ИСН]

(14 часов спустя)
А нет, действительно очевидно. Если встретится любая конечная последовательность (нам хватило бы и одного этого требования, которое само по себе слабее нормальности), то встретится и лужа в 100 нулей (хватило бы 10, но я же щедрый), которую любые два обрезания перепрыгнуть не смогут и пойдут маленькими шажками, а значит, и выйдут из неё параллельно, и дальше пойдут так же.
Ещё мне теперь кажется, что по основанию 2 рационормальны все числа вообще, но это так, в сторону.

[staric]

ИСН в сообщении #1720617 писал(а):

(14 часов спустя)
по основанию 2 рационормальны все числа вообще, но это так, в сторону.

Ну, уж не совсем в сторону. Способ доказательства может подсказать, что делать с троичной записью.