Оператор в L_p

[Юстас]

Пусть оператор $T$ действует по правилу

$$Tf(x) = \int_0^{\infty}\frac {f(y)}{x + y}\,dy.$$

Доказать, что $T$ не ограничен как оператор из $L_1(0,\infty)\to \ L_1(0,\infty)$, однако для $L_p(0,\infty) , \ 1<p<\infty$ он непрерывен.

[RIP]

Пусть $p>1$. Тогда

$$|Tf(x)|\le\int_0^\infty\frac{y^{\frac{p-1}{p^2}}|f(y)|}{(x+y)^{1/p}}\cdot\frac{y^{-\frac{p-1}{p^2}}}{(x+y)^{1-1/p}}\,dy\le$$

$$\le\left(\int_0^\infty\frac{y^{1-1/p}|f(y)|^pdy}{x+y}\right)^{1/p}\left(\int_0^\infty\frac{y^{-1/p}dy}{x+y}\right)^{1-1/p},$$

поэтому

$$\|Tf\|_p^p\le\left(\frac\pi{\sin\frac\pi p}\right)^{p-1}\int_0^\infty x^{-(1-1/p)}\int_0^\infty\frac{y^{1-1/p}|f(y)|^pdy}{x+y}\,dx=\left(\frac\pi{\sin\frac\pi p}\right)^p\|f\|_p^p,$$

т.е. $\|T\|\le\frac\pi{\sin\frac\pi p}$.

С другой стороны, возьмём $f(y)=y^{-1/p}\chi_{[1;A]}(y)$, $A>1$
большое ($1\le p<\infty$). Тогда

$$Tf(x)=x^{-1/p}\int_{\frac1{1+x}}^{\frac A{A+x}}t^{-1/p}(1-t)^{1/p-1}dt$$

(замена $t=\frac y{x+y}$). Фиксируем $\epsilon\in(0;1/2)$. Если
$\frac{1-\epsilon}{\epsilon}\le x\le\frac{A\epsilon}{1-\epsilon}$,
то

$$Tf(x)\ge x^{-1/p}\int_\epsilon^{1-\epsilon}t^{-1/p}(1-t)^{1/p-1}dt,$$

поэтому

$$\frac{\|Tf\|_p}{\|f\|_p}\ge\int_\epsilon^{1-\epsilon}t^{-1/p}(1-t)^{1/p-1}dt\cdot\left(1+\frac{2\log\frac\epsilon{1-\epsilon}}{\log A}\right)^{1/p}.$$

Устремляем $A\to+\infty$, а затем $\epsilon\to+0$, получаем, что
$\|T\|=\frac\pi{\sin\frac\pi p}$ при всех $p\in[1;+\infty)$.