Трансцендентное расширение

[Dedekind]

Доказать, что если $c$ трансцендентно над полем $F$, то каждый элемент $\alpha \in F(c)$ и $\alpha \notin F$ трансцендентен над $F$.

Нет ли ошибок в таком доказательстве?

Пусть $\alpha \in F(c)\setminus F$. Тогда мы можем записать $\alpha = \dfrac{f(c)}{g(c)}$ для некоторых $f(x), g(x) \in F[x]$, причем предполагаем их взаимно простыми.
Предположим, что существует $p(x)\in F[x]$ такое, что $p(\alpha) = 0$.
Пусть $p(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_nx^n$. Тогда

$$ p\!\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = a_0 + a_1\dfrac{f(x)}{g(x)} + ... + a_n \dfrac{f^n(x)}{g^n(x)} = \dfrac{1}{g^n(x)}\left[a_0g^n(x) + a_1 f(x) g^{n-1}(x) + ... + a_n f^n(x)\right]. $$

Поскольку $c$ является корнем $p(f(x)/g(x))$ и при этом $c$ трансцендентен, единственный многочлен, удовлетворяющий этому условию - нулевой многочлен. Поэтому

$$ a_0g^n(x) + a_1 f(x) g^{n-1}(x) + ... + a_n f^n(x)=0 $$

(как многочлен), поскольку $\dfrac{1}{g^n(x)} \ne 0$.

Из этого следует, что $f^n(x)$ делится на $g(x)$ и $g^k(x)$ делится на $f(x)$ (для некоторого $k$ для которого $a_k\ne 0$).
Но поскольку $f(x)$ и $g(x)$ не имеют общих множителей, это невозможно, если только $f$ и $g$ не являются константами.
Но тогда $\alpha = \dfrac{f}{g} \in F$, что является противоречием.

[dgwuqtj]

Всё правильно.

[Dedekind]

dgwuqtj
Спасибо!