отношения комплексности функции и производной

[granit201z]

Здравствуйте. Есть $f(x)$. Заранее о ней неизвестно ничего. Поэтому приходится разбить ситуацию на 3 варианта:
1. $f(x)$ чисто действительная
2. $f(x)$ чисто мнимая
3. $f(x)$ комплексная
Соответственно ситуация с производными этой функции может быть тоже такая:
1'. $f'(x)$ чисто действительная
2'. $f'(x)$ чисто мнимая
3'. $f'(x)$ комплексная
А вопрос в том - какие ситуации могут иметь место у пары "функция, производная"?

Т. К. $-f'(x)= \lim \frac{f(x)-f(x+\Delta x)}{\Delta x}$, то для 1 и 2 производные не могут вырваться за пределы 1' и 2' соответственно. А для сучая 3 возможны все 3 состояния, т.е. 3-1', 3-2', 3-3'

Верно ли это рассуждение? Сам то я вижу, что оно железобетонное. Но доверия к себе немного в области математики

-- 22.02.2026, 16:08 --

Ах, да, замечание - функция не константа (в том числе чисто мнимая константа

[artempalkin]

granit201z в сообщении #1718730 писал(а):

Здравствуйте. Есть $f(x)$. Заранее о ней неизвестно ничего. Поэтому приходится разбить ситуацию на 3 варианта:
1. $f(x)$ чисто действительная
2. $f(x)$ чисто мнимая
3. $f(x)$ комплексная

Это все подразумевает, что, допустим, в первом случае функция, действующая на всей комплексной плоскости, всюду имеет действительные значения? во втором - всюду чисто мнимые?

-- 09.03.2026, 08:27 --

1) Если функция "чисто действительная", то ее производная, конечно, будет чисто действительной.

Возникает вопрос, сколько таких (чисто действительных) аналитических (то есть дифференцируемых) функций есть. По условию Даламбера-Эйлера, у такой функции действительная и мнимая части должны быть дифференцируемы, а также

$${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$$

$${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}$$

Так как $v(x,y)=0$ (тождественно), то $u(x,y)=A$, то есть $f(z)=const$. То есть "чисто действительные" (как и чисто мнимые) дифференцируемые (аналитические) функции комплексной переменной - это только константы.

2) рассмотрели

3) Могут быть все три варианта. 3-3' очевидно (большинство функций подойдет), а $f(z)=Cz$ будет примером 3-1' или 3'-2 в зависимости от того, является ли $C$ чисто действительным или чисто мнимым. Если хотите, попробуйте доказать, что это будут единственные примеры ситуаций 3-1' или 3'-2.