Сходимость рядов

[Antoshka]

Здравствуйте. Мне надо исследовать ряд на сходимость. Его особенность в том, что непонятно, является он знакопеременным или нет. По условию $0<x<1,y>0$,

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^x}\cos(y \ln n)$$

Я попробовал интегральный признак сходимости.
Сначала конечно надо проверить необходимое условие сходимости. $n$ член ряда должен стремиться к нулю при $n\to\infty;$ Т.к косинус величина ограниченная, то считаем с помощью Лопиталя Бернулли

$$\lim\limits_{n\to\infty}{\ln n/n^x}=\lim\limits_{n\to\infty} {\frac{1}{nxn^{x-1}}}=0;$$

Если применить интегральный признак сходимости, то будет интеграл, который можно вычислить. Но проблема в том, что интегральный признак сходимости работает только если у нас функция монотонная. А здесь знак производной однозначно не определяется. Признак Лейбница здесь тоже не пройдёт, так как нельзя сказать, чередуются знаки у ряда или нет. А признак Даламбера работает только для знакопостоянных рядов. Остается признак Дирихле?

[ex-math]

Если рассмотреть $x+iy$ как комплексную переменную, то перед вами ряд Дирихле (связанный с производной дзета-функции Римана). Ряды Дирихле сходятся в полуплоскостях (подобно тому как степенные ряды сходятся в кругах). Чтобы найти эту полуплоскость нужно посмотреть на сходимость при $y=0$, для вашего случая это легко. Так что ваш ряд будет сходиться при $x>1$ и расходиться при $x<1$.

[mihaild]

Если по рабоче-крестьянски - то можно посмотреть на происходящее на интервалах, на которых $\cos(y \ln n) > 1/2$.

[Antoshka]

mihaild в сообщении #1718727 писал(а):

Если по рабоче-крестьянски - то можно посмотреть на происходящее на интервалах, на которых $\cos(y \ln n) > 1/2$.

А как вы получили такую оценку для косинуса?

[Combat Zone]

Antoshka в сообщении #1718728 писал(а):

а последовательность $a_n$ монотонная, поэтому по принципу Дирихле ряд сходится.

Ну хотя бы потому что она к нулю не стремится.

Antoshka в сообщении #1718728 писал(а):

что частичные суммы ряда

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$$

ограничены,

Точно?

-- 22.02.2026, 15:03 --

Antoshka в сообщении #1718731 писал(а):

А как вы получили такую оценку для косинуса?

Это не оценка, это предложение смотреть на слагаемые, для которых это верно. Есть такой метод. Потом уже строится оценка, зная, каков косинус и где.