Уравнение: A^4+A^2B^2+B^4=C^4+C^2D^2+D^4=E^4+E^2F^2+F^4

[GaloisDiophantine]

Как можно найти второй нетривиальный пример для диофантового уравнения:

$$A^4+A^2B^2+B^4=C^4+C^2D^2+D^4=E^4+E^2F^2+F^4$$

Где-то за несколько часов поиска удалось получить один интересный пример:

$$187^4+187^2\cdot 755^2+755^4=485^4+485^2\cdot 659^2+659^4=767^4+767^2\cdot 1^2+1^4$$

Кстати с ним связано очень красивое математическое равенство другого более сложного уравнения, если задать таким образом:
$A^{2k}+B^{2k}+(-A^2-B^2)^k=C^{2k}+D^{2k}+(-C^2-D^2)^k$
For $k=1,2,4$

$$187^{2k}+755^{2k}+(-604994)^{k}=485^{2k}+659^{2k}+(-669506)^{k}=767^{2k}+1^{2k}+(-588290)^{k}$$

Используя все коллекции решений я получил единственный пример семейства полиномов задающего по крайней мере большинство решений. Правда это лишь около 8% от общего числа решений в диапазоне до 5000 было им получено.
$A=8+2t+11t^2+15t^3+2t^4+24t^5+6t^6+4t^7$
$B=-4+6t-24t^2+2t^3-15t^4+11t^5-2t^6+8t^7$
$C=8-2t+11t^2-15t^3+2t^4-24t^5+6t^6-4t^7$
$D=4+6t+24t^2+2t^3+15t^4+11t^5+2t^6+8t^7$
Главный вопрос который меня интересует существует ли второе подобное первому нетривиальное решение? Хотелось бы еще получить параметрическое представление этого семейства, если это возможно реализовать. Но думаю сделать уже невозможно в такой сложной зависимости. Я проверил диапазоны от 1 до 6000 (и до 12000 все нечётные семейства) и обнаружил только 14 примеров которые были порождены данным решением. закрадываются сомнения что это решение само по себе может быть спорадическим.

[mathpath]

Решение #11:
Значение: 5067023688808851
Количество пар: 3
Пары (A,B):
(7249, 5335)
(8305, 2057)
(8437, 11)


Решение #12:
Значение: 7176408934576896
Количество пар: 3
Пары (A,B):
(7908, 5820)
(9060, 2244)
(9204, 12)

Решение #13:
Значение: 9884520427297971
Количество пар: 3
Пары (A,B):
(8567, 6305)
(9815, 2431)
(9971, 13)

.........................

Решение #21:
Значение: 67306866609059091
Количество пар: 3
Пары (A,B):
(13839, 10185)
(15855, 3927)
(16107, 21)

Решение #22:
Значение: 81072379020941616
Количество пар: 3
Пары (A,B):
(14498, 10670)
(16610, 4114)
(16874, 22)

Решение #23:
Значение: 96848642585886051
Количество пар: 3
Пары (A,B):
(15157, 11155)
(17365, 4301)
(17641, 23)

Решение #24:
Значение: 114822542953230336
Количество пар: 3
Пары (A,B):
(15816, 11640)
(18120, 4488)
(18408, 24)

Решение #25:
Значение: 135189271801171875
Количество пар: 3
Пары (A,B):
(16475, 12125)
(18875, 4675)
(19175, 25)

Решение #26:
Значение: 158152326836767536
Количество пар: 3
Пары (A,B):
(17134, 12610)
(19630, 4862)
(19942, 26)
................................




https://chat.deepseek.com/share/skvy6f7acxz8ol5qhp

https://chat.deepseek.com/share/8oo3z5akgaf5gf0w0q

[GaloisDiophantine]

Все решения кратны в общем виде $k^4$ и образуют в любом случае изначальное решение.