В рунете есть мнение о том, что уравнение в формулировке теоремы:

есть общий вид функционального алгоритма:
![$c=f(x)=\sqrt[n]{a^n+b^n}$ $c=f(x)=\sqrt[n]{a^n+b^n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/e/9be38f759f803d82a2b529195e8fce9882.png)
.
Это подразумевает, при доказательстве теоремы, в самом начале доказательства, артикуляцию обоих знакопеременных варианта:
![$c=f(x)=\sqrt[n]{a^n+b^n}$ $c=f(x)=\sqrt[n]{a^n+b^n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/e/9be38f759f803d82a2b529195e8fce9882.png)
;
![$c=f(x)=\sqrt[n]{a^n-b^n}$ $c=f(x)=\sqrt[n]{a^n-b^n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/0/c209d9b064050a3c26359a800da6fe7c82.png)
.
Поэтому, целочисленность двух задаваемых независимых аргументов:

и

, выбираемых произвольно, не подвергается сомнению. В доказательстве целочисленности
нуждается результат функционального вычисления. Но функций, в этом случае, образуются две , а не одна:
1.
![$c=f(x)=\sqrt[n]{a^n+b^n}$ $c=f(x)=\sqrt[n]{a^n+b^n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/e/9be38f759f803d82a2b529195e8fce9882.png)
;
2.
![$k=f(x)=\sqrt[n]{a^n-b^n}$ $k=f(x)=\sqrt[n]{a^n-b^n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/0/6f0b4ada6aa3b3d3dc18d30e1d660ec282.png)
.
То есть, для математической полнотты доказательства необходимо рассмотреть две тройки чисел:
1.

;
2.

.
Это предgоложение совдает с формулой Эвклида для нахождения всех возможных троек для

:

,
которая будет выглядеть в других обозначениях как

.
В альтернативном варианте, на некотором сайте, формула общего вида выглядит так:
![$(\sqrt[n]{4}\cdot x\cdot y)^n+(k^2)^n=(c^2)^n$ $(\sqrt[n]{4}\cdot x\cdot y)^n+(k^2)^n=(c^2)^n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/c/38c3d67d45d6436caf5119dc409d202182.png)
.
Нецелочисленность результата в случае применения

обеспечивается множителем
![$\sqrt[n]{4}$ $\sqrt[n]{4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/9/249b088fd9588ff7ad83532aba75926c82.png)
, результат которого будет гарантированно нецелочисленным в этом случае:
![$1<\sqrt[n]{4}<2$ $1<\sqrt[n]{4}<2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/2/f6250ab8f93d0443d6ae773fbda4bde282.png)
.
Возможно, я чего-то недопонял или сделал ошибки или описки в тексте, но мне, главное, было передать основную мысль. Хочу увидеть мнение завсегдатаев форума.