Диофантово уравнение x^2+y^2=3z^2

[Inspektor]

Не могу доказать, что диофантово уравнение x^2+y^2=3z^2 не имеет решений в целых числах кроме x=y=z=0(или найти такое решение). Эту задачу можно свести к такой: "доказать, что на кривой x^2+y^2=3(окружность радиуса \sqrt3 с центром в начале координат) нет рациональных точек". Пытался через сравнения, но там совсем глухо .

[PAV]

Рассмотрите по модулю 3.

[Inspektor]

PAV писал(а):

Рассмотрите по модулю 3.

Может так:
x,y,z- попарно взаимно просты.
x^2+y^2\equiv0(mod\ 3)\\x^2\equiv1(mod\ 3)\\y^2\equiv2(mod\ 3)
А по критерию Эйлера 2 является квадратичным невычетом по модулю 3.

[PAV]

Любое число, не кратное 3, будучи возведенным в квадрат дает при делении на 3 остаток 1.

[individa]

Всё не так! Смысла, нет смысла. Из всей этой писанины не понятно почему одни уравнения решаются другие нет!
Так что начнём.
Диофантово уравнение $Y^2+aX^2=aZ^2$ имеет довольно простые формулы описывающие его решения:

$$Y=2aps$$

$$X=ap^2-s^2$$

$$Z=ap^2+s^2$$

Здесь везде числа p,s являются целыми и задаются нами.
Уравнение же $X^2+Y^2=aZ^2$ хотя с виду имеет более простой вид формулы решения выглядят более сложно.
Вот как они выглядят, решения есть если корень является целым. Как всё просто:
Первое решение:

$$X=-(1\pm\sqrt{a-1})p^2+2((a-1)\sqrt{a-1}\pm1)ps+(1-a\mp(a-1)\sqrt{a-1})s^2$$

$$Y=(1-a\mp\sqrt{a-1})p^2+2(\sqrt{a-1}\pm1)ps+(a^2-2a-1\mp(a-1)\sqrt{a-1})s^2$$

$$Z=-(1\pm\sqrt{a-1})p^2+2(\sqrt{a-1}\pm1)ps+(a-3\mp(a-1)\sqrt{a-1})s^2$$

Второе решение:

$$X=(a-1\pm\sqrt{a-1})p^2-2a(\sqrt{a-1}\pm1)ps+2a(1\pm\sqrt{a-1})s^2$$

$$Y=(1\pm\sqrt{a-1})p^2-2a(\sqrt{a-1}\pm1)ps+(2a^2-2a\pm2a\sqrt{a-1})s^2$$

$$Z=(1\pm\sqrt{a-1})p^2-2(2\sqrt{a-1}\pm{a})ps+2a(1\pm\sqrt{a-1})s^2$$

Третье решение:

$$X=(a\pm\sqrt{2a})p^2-2(\sqrt{2a}\pm{a})ps+(3a-a^2\pm(a-1)\sqrt{2a})s^2$$

$$Y=(a\pm\sqrt{2a})p^2-2((a-1)\sqrt{2a}\pm{a})ps+(a^2-a\pm(a-1)\sqrt{2a})s^2$$

$$Z=(2\pm\sqrt{2a})p^2-2(\sqrt{2a}\pm{a})ps+(2\pm(a-1)\sqrt{2a})s^2$$

Ну последнее о чём хотелось бы упомянуть. Прежде чем подставлять "а" в формулы убедитесь, что это число не пропорционально квадрату какого то нибудь числа. В этом случае подставляйте сокращенное "а" в формулы, а в конечном ответе умножьте X,Y на соответствующее число. Ясно?
То есть если $a=kt^2$ подставляете в формулы "k". И ответом будет $(tX,tY,Z)$
Правда учесть надо всё равно случай когда корни целые, То есть не пропустить ни одно решение!

[Deggial]

individa, предупреждение за оффтоп, некропост и захват темы. С учётом предыдущих нарушений - недельный бан за систематическое нарушение правил форума.

[nnosipov]

individa в сообщении #785264 писал(а):

Уравнение же $X^2+Y^2=aZ^2$ хотя с виду имеет более простой вид формулы решения выглядят более сложно.

Это потому, что Вы решаете это уравнение кустарными методами. Судя по тем нелепым формулам, что Вы приводите, Вы даже не понимаете, при каких целых $a$ уравнение $X^2+Y^2=aZ^2$ разрешимо в целых числах, а при каких --- неразрешимо.

[Pineapple]

(Оффтоп)

А где такие уравнения проходят?

[nnosipov]

(Оффтоп)

Pineapple, эти уравнения изучаются (с разных точек зрения) в линейной алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии.