2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диофантово уравнение x^2+y^2=3z^2
Сообщение14.09.2008, 11:31 


11/09/08
21
Не могу доказать, что диофантово уравнение x^2+y^2=3z^2 не имеет решений в целых числах кроме x=y=z=0(или найти такое решение). Эту задачу можно свести к такой: "доказать, что на кривой x^2+y^2=3(окружность радиуса \sqrt3 с центром в начале координат) нет рациональных точек". Пытался через сравнения, но там совсем глухо :evil: .

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.09.2008, 12:20 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Рассмотрите по модулю 3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.09.2008, 12:45 


11/09/08
21
PAV писал(а):
Рассмотрите по модулю 3.

Может так:
x,y,z- попарно взаимно просты.
x^2+y^2\equiv0(mod\ 3)\\x^2\equiv1(mod\ 3)\\y^2\equiv2(mod\ 3)
А по критерию Эйлера 2 является квадратичным невычетом по модулю 3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.09.2008, 13:17 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Любое число, не кратное 3, будучи возведенным в квадрат дает при делении на 3 остаток 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение x^2+y^2=3z^2
Сообщение05.11.2013, 20:17 
Заблокирован


22/07/13

43
Всё не так! Смысла, нет смысла. Из всей этой писанины не понятно почему одни уравнения решаются другие нет!
Так что начнём.
Диофантово уравнение $Y^2+aX^2=aZ^2$ имеет довольно простые формулы описывающие его решения:
$$Y=2aps$$
$$X=ap^2-s^2$$
$$Z=ap^2+s^2$$
Здесь везде числа p,s являются целыми и задаются нами.
Уравнение же $X^2+Y^2=aZ^2$ хотя с виду имеет более простой вид формулы решения выглядят более сложно.
Вот как они выглядят, решения есть если корень является целым. Как всё просто:
Первое решение:
$$X=-(1\pm\sqrt{a-1})p^2+2((a-1)\sqrt{a-1}\pm1)ps+(1-a\mp(a-1)\sqrt{a-1})s^2$$
$$Y=(1-a\mp\sqrt{a-1})p^2+2(\sqrt{a-1}\pm1)ps+(a^2-2a-1\mp(a-1)\sqrt{a-1})s^2$$
$$Z=-(1\pm\sqrt{a-1})p^2+2(\sqrt{a-1}\pm1)ps+(a-3\mp(a-1)\sqrt{a-1})s^2$$

Второе решение:
$$X=(a-1\pm\sqrt{a-1})p^2-2a(\sqrt{a-1}\pm1)ps+2a(1\pm\sqrt{a-1})s^2$$
$$Y=(1\pm\sqrt{a-1})p^2-2a(\sqrt{a-1}\pm1)ps+(2a^2-2a\pm2a\sqrt{a-1})s^2$$
$$Z=(1\pm\sqrt{a-1})p^2-2(2\sqrt{a-1}\pm{a})ps+2a(1\pm\sqrt{a-1})s^2$$

Третье решение:
$$X=(a\pm\sqrt{2a})p^2-2(\sqrt{2a}\pm{a})ps+(3a-a^2\pm(a-1)\sqrt{2a})s^2$$
$$Y=(a\pm\sqrt{2a})p^2-2((a-1)\sqrt{2a}\pm{a})ps+(a^2-a\pm(a-1)\sqrt{2a})s^2$$
$$Z=(2\pm\sqrt{2a})p^2-2(\sqrt{2a}\pm{a})ps+(2\pm(a-1)\sqrt{2a})s^2$$

Ну последнее о чём хотелось бы упомянуть. Прежде чем подставлять "а" в формулы убедитесь, что это число не пропорционально квадрату какого то нибудь числа. В этом случае подставляйте сокращенное "а" в формулы, а в конечном ответе умножьте X,Y на соответствующее число. Ясно?
То есть если $a=kt^2$ подставляете в формулы "k". И ответом будет $(tX,tY,Z)$
Правда учесть надо всё равно случай когда корни целые, То есть не пропустить ни одно решение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение x^2+y^2=3z^2
Сообщение05.11.2013, 20:45 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  individa, предупреждение за оффтоп, некропост и захват темы. С учётом предыдущих нарушений - недельный бан за систематическое нарушение правил форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение x^2+y^2=3z^2
Сообщение05.11.2013, 20:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
individa в сообщении #785264 писал(а):
Уравнение же $X^2+Y^2=aZ^2$ хотя с виду имеет более простой вид формулы решения выглядят более сложно.
Это потому, что Вы решаете это уравнение кустарными методами. Судя по тем нелепым формулам, что Вы приводите, Вы даже не понимаете, при каких целых $a$ уравнение $X^2+Y^2=aZ^2$ разрешимо в целых числах, а при каких --- неразрешимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение x^2+y^2=3z^2
Сообщение10.01.2014, 23:21 


17/01/13
622

(Оффтоп)

А где такие уравнения проходят?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение x^2+y^2=3z^2
Сообщение11.01.2014, 08:59 
Заслуженный участник


20/12/10
8858

(Оффтоп)

Pineapple, эти уравнения изучаются (с разных точек зрения) в линейной алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group