Это вам не Гурса!

[Red_Herring]

1. Найдите непрерывное в $(0,0)$ решение
\begin{align} &u_{tt}-u_{xx}=0 && k t> |x|,\\ &u|_{x= \pm kt} = \pm t^\alpha &&-\infty<x<\infty \end{align}
где $0< k< 1$ and $\alpha >0$.
2. Объясните, что случится без условия "непрерывное в $(0,0)$''.
3. Объясните, что случится при $\alpha\le 0$.
4. Объясните, что случится при $k\to 1^-$.

[Padawan]

1. $u(x,t)=C_1(t-x)^\alpha+C_2 (t+x)^\alpha$, где

$$C_1=-\frac{1}{1-\left(\frac{1-k}{1+k}\right)^\alpha}\cdot\frac{1}{(1+k)^\alpha},$$

$$ C_2=\left(\frac{1}{1-\left(\frac{1-k}{1+k}\right)^\alpha}-1\right)\cdot\frac1{(1-k)^\alpha}. $$

Вроде не ошибся. Граничным условиям удовлетворяет.

[Padawan]

2. Без условия непрерывности решений будет бесконечно много: $u=f(t-x)+g(t+x)$, где $f\colon (0,+\infty)\to\mathbb R$ -- любая функция, удовлетворяющая функциональному уравнению

$$ f\left(\left(\frac{1-k}{1+k}\right)^2 z\right)=f(z)+\left(1+\left(\frac{1-k}{1+k}\right)^\alpha\right)\left(\frac{z}{1+k}\right)^\alpha $$

для всех $z\in (0,+\infty)$. А функция $g$ выражается через функцию $f$ при помощи граничного условия.

[Red_Herring]

2. На самом деле все можно сформулировать еще проще: чтобы проверить единственность, надо проверить есть ли нетривиальные решения при нулевых граничных условиях, и тогда уравнение будет $f(rz)=f(z)$ т.е. $f(z)=\phi(\log (z)/\log(r))$ где $\phi$ периодическая функция с периодом 1.