Доказательство: базисы одинакового размера

[hanik]

Добрый день.

В англоязычном учебнике по линейной алгебре предлагается доказать, что базисы линейного подпространства $V$ из $R^n$ содержат одинаковое число векторов.

Я зашел в тупик. Прошу подсказать дальнейшие шаги.

Пусть для подпространства $V$ есть два базиса $B_1$ и $B_2$. Нам нужно показать, что $|B_1|=|B_2|$. Я начал показывать это по индукции по размеру $B_1$. Для случая, когда $B_1$ содержит один вектор, а $B_2$ содержит большее число векторов, я показал, что это невозможно. Но для случая $|B_1|=2$ я не могу прийти к противоречию. Мне нужно как-то выразить один вектор $u_1 \in B_2$ через другие векторы $u_2, u_3 \in B_2$ - это у меня не получается.

[ozheredov]

hanik, от какого определения линейного подпространства Вы отталкиваетесь?

[hanik]

$V \subset R^n$ является подпространством если:
1. $V$ содержит нулевой вектор
2. Если $u,v \in V$, то $(u + v) \in V$.
3. Если $v \in V, c \in R$, то $(cv) \in V$.

[Dedekind]

hanik в сообщении #1716302 писал(а):

Мне нужно как-то выразить один вектор $u_1 \in B_2$ через другие векторы $u_2, u_3 \in B_2$ - это у меня не получается.

Это, очевидно, невозможно, раз $B_2$ - базис. Посмотрите тут, страница 58 теорема 2.34 https://linear.axler.net/LADR4e.pdf

[ex-math]

Это утверждение лучше сформулировать так: любые $n+1$ векторов из линейной оболочки $n$ векторов линейно зависимы.

В вашей нотации выразите один из векторов $B_1$ через, скажем, $u_1$ и оставшийся вектор $B_1$. Затем подставьте это выражение в разложения $u_2,u_3$ по векторам $B_1$. Перенесите $u_1$ в левые части и получите два вектора из линейной оболочки одного оставшегося вектора из $B_1$. Вы уже доказали раньше, что они линейно зависимы. Раскройте скобки и убедитесь, что $u_1,u_2,u_3$ линейно зависимы.

[TOTAL]

hanik в сообщении #1716302 писал(а):

Мне нужно как-то выразить один вектор $u_1 \in B_2$ через другие векторы $u_2, u_3 \in B_2$ - это у меня не получается.

Нужно ли? А что если каждому вектору предположительно более длинного базиса сопоставить вектор коэффициентов его разложения в более коротком базисе. Эти векторы коэффициентов, очевидно, будут линейно зависимы, что означает линейную зависимость векторов длинного базиса.

[hanik]

ex-math
Попробую расписать до чего я дошел.

Пусть $v_1, v_2 \in B_1, u_1, u_2, u_3 \in B_2$.

Раскладываем векторы из $B_2$:

$ u_1 = a_1 v_1 + a_2 v_2 u_2 = b_1 v_1 + b_2 v_2 u_3 = c_1 v_1 + c_2 v_2 $

Хотя бы один из коэфициентов при $v_1$ должен быть ненулевым, иначе векторы $B_2$ были бы зависимы. Пусть $a_1 \ne 0$. Далее:

$v_1 = \frac{a_2}{a_1} v_2 - \frac{1}{a_1} u_1$

Подставляем $v_1$ в остальных равенствах.

$u_2 = (\frac{a_2 b_1}{a_1} + b_2) v_2 - \frac{b_1}{a_1} u_1$

$u_3 = (\frac{a_2 c_1}{a_1} + c_2) v_2 - \frac{c_1}{a_1} u_1$


$u_2 + \frac{b_1}{a_1} u_1 = (\frac{a_2 b_1}{a_1} + b_2) v_2$

$u_3 + \frac{c_1}{a_1} u_1= (\frac{a_2 c_1}{a_1} + c_2) v_2$

Цитата:

и получите два вектора из линейной оболочки одного оставшегося вектора из $B_1$

Не совсем понимаю, какие два вектора. В левой части получается три вектора. И еще вопрос: как мы можем убедиться, что коэффициенты при $v_2$ в последних равенствах ненулевые?

[ex-math]

Два вектора, которые стоят в левых частях двух последних равенств. Они имеют вид линейной комбинации векторов $u_i$. Коэффициенты при $v_2$ не важны, важно что эти два вектора пропорциональны $v_2$. А вы на предыдущем шаге доказали, что тогда они линейно зависимы. Запишите определение линейной зависимости для них (в виде комбинации) и раскройте скобки. Получится комбинация $u_i$, равная нулю. Нужно только убедиться что она нетривиальная.

[hanik]

Пусть

$w_1 = u_2 + \frac{b_1}{a_1} u_1$


$w_2 = u_3 + \frac{c_1}{a_1} u_1$

Из предыдущего шага можем утверждать, что $w_1$ и $w_2$ линейно зависимы. Значит есть такие числа $s_1, s_2$ что

$s_1 w_1 + s_2 w_2 = 0$

Одно из этих чисел не равно нулю, пусть это $s_1$. Тогда имеем

$s_1 u_2 + \frac {s_1 b_1}{a_1} u_1 + s_2 u_3 + \frac {s_2 c_1}{a_1} u_1 = 0$

То, что $s_1 \ne 0$ достаточно, чтобы $u_1, u_2, u_3$ были линейно зависимы.

Все ли я правильно написал?

[ex-math]

Да, верно

[hanik]

Всем спасибо за помощь