Условия Коши-Римана

[pavelyoung]

Необходимость условий Коши-Римана понятна, но как доказать достаточность, то есть:

Как доказать, что если функция $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ такова, что $u, v$ дифференцируемы в $(x_0, y_0)$ и $\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial v}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}$, то $f$ дифференцируема в точке $x_0 + iy_0$?

Заранее спасибо.

[пианист]

Что-то никто не откликнулся. Ну, я попробую.
Так как $u, v$ дифференцируемы по $(x, y)$, $\Delta u + i \Delta v = u_x \Delta x + u_y \Delta y + i(v_x \Delta x + v_y \Delta y) + o(\Delta r) $.
Заменим $u_y, v_y$ из условий КР и учтем, что расстояние на $\mathbb C$ обычное эвклидово, получим $\Delta u + i \Delta v = u_x \Delta x - v_x \Delta y +$
$ +i(v_x \Delta x + u_x \Delta y) + o(|\Delta x + i \Delta y|) = $
$=(u_x + i v_x) (\Delta x + i \Delta y) + o(|\Delta x + i \Delta y|) $ - условие дифференцируемости $u+i v$, уже как функции $\mathbb C \to \mathbb C$, где в качестве производной $u_x + i v_x$.
Как-то так.

[pavelyoung]

Спасибо!

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать в пределах учебных курсов, создаются в этом разделе.