Матричное уравнение

[bot]

Let $A$ be a square matrix over commutativ field $F,\,\, A^n=0.$

Prove that the equation

$$ \sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{n-1} \alpha_{ij} A^iXA^j=B,\,\,\,\text{ where } \, \alpha_{ij} \in F, \,\, \alpha_{00}\ne 0,$$

is solvable for any square matrix $B$ of the same order as matrix $A.$

[Null]

На первый взгляд линейно комбинируя $A^iBA^j$ можно получить $X$.

[mihaild]

Order матрицы - это такое $m$, что $B^m = 0$, $B^{m - 1} \neq 0$?

[Null]

Размер скорее всего.

[lel0lel]

Null в сообщении #1715003 писал(а):

На первый взгляд линейно комбинируя $A^iBA^j$ можно получить $X$.

Да, я тоже так подумал. Распишу для $n=2$, чтобы лучше увидеть обратимость получающейся матрицы. Буду считать, что $A^{n-1}\ne 0$, иначе переходим к меньшему значению $n$.

Из исходного уравнения получаем систему $n^2$ уравнений, умножая исходное уравнение, то слева, то справа на $A$:
$\begin{cases}\alpha_{00}X+\alpha_{01}XA+\alpha_{10}AX+\alpha_{11}AXA=B\\ \alpha_{00}AX+\alpha_{01}AXA=AB\\ \alpha_{00}XA+\alpha_{10}AXA=BA\\ \alpha_{00}AXA=ABA \end{cases}
Если переменные это $X, AX, XA, AXA$, то обратимость матрицы системы очевидна, так как матрица имеет вид
$\begin{pmatrix}\alpha_{00}&\alpha_{10}&\alpha_{01}&\alpha_{11}\\ 0&\alpha_{00}&0&\alpha_{01}\\ 0&0&\alpha_{00}&\alpha_{10}\\ 0&0&0&\alpha_{00}\end{pmatrix}$.
Если $n>2$, то принцип тот же: получаем $n^2$ уравнений. В каждом уравнении будет присутствовать ненулевой элемент поля $\alpha_{00}$. Причём, в различных уравнениях он будет коэффициентом при различных матрицах вида $A^i X A^j$, которые мы пронумеруем в качестве неизвестных $y_k (1\leq k\leq n^2)$ так, чтобы матрица системы была треугольная с детерминантом равным $\alpha_{00}^{n^2}$. Такая нумерация для того, чтобы показать разрешимость системы.