Матричное уравнение

[bot]

Let $A$ be a square matrix over commutativ field $F,\,\, A^n=0.$

Prove that the equation

$$ \sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{n-1} \alpha_{ij} A^iXA^j=B,\,\,\,\text{ where } \, \alpha_{ij} \in F, \,\, \alpha_{00}\ne 0,$$

is solvable for any square matrix $B$ of the same order as matrix $A.$

[Null]

На первый взгляд линейно комбинируя $A^iBA^j$ можно получить $X$.

[mihaild]

Order матрицы - это такое $m$, что $B^m = 0$, $B^{m - 1} \neq 0$?

[Null]

Размер скорее всего.

[lel0lel]

Null в сообщении #1715003 писал(а):

На первый взгляд линейно комбинируя $A^iBA^j$ можно получить $X$.

Да, я тоже так подумал. Распишу для $n=2$, чтобы лучше увидеть обратимость получающейся матрицы. Буду считать, что $A^{n-1}\ne 0$, иначе переходим к меньшему значению $n$.

Из исходного уравнения получаем систему $n^2$ уравнений, умножая исходное уравнение, то слева, то справа на $A$:
$\begin{cases}\alpha_{00}X+\alpha_{01}XA+\alpha_{10}AX+\alpha_{11}AXA=B\\ \alpha_{00}AX+\alpha_{01}AXA=AB\\ \alpha_{00}XA+\alpha_{10}AXA=BA\\ \alpha_{00}AXA=ABA \end{cases}
Если переменные это $X, AX, XA, AXA$, то обратимость матрицы системы очевидна, так как матрица имеет вид
$\begin{pmatrix}\alpha_{00}&\alpha_{10}&\alpha_{01}&\alpha_{11}\\ 0&\alpha_{00}&0&\alpha_{01}\\ 0&0&\alpha_{00}&\alpha_{10}\\ 0&0&0&\alpha_{00}\end{pmatrix}$.
Если $n>2$, то принцип тот же: получаем $n^2$ уравнений. В каждом уравнении будет присутствовать ненулевой элемент поля $\alpha_{00}$. Причём, в различных уравнениях он будет коэффициентом при различных матрицах вида $A^i X A^j$, которые мы пронумеруем в качестве неизвестных $y_k (1\leq k\leq n^2)$ так, чтобы матрица системы была треугольная с детерминантом равным $\alpha_{00}^{n^2}$. Такая нумерация для того, чтобы показать разрешимость системы.

[TOTAL]

$$ \sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{n-1} \alpha_{ij} A^iXA^j=B$$

Умножив уравнение слева на $A^{n-1}$ и справа на $A^{n-1}$, найдём $\alpha_{00} A^{n-1}XA^{n-1}.$
Потом умножим слева на $A^{n-2}$ и справа на $A^{n-1}$, чтобы найти $\alpha_{00} A^{n-2}XA^{n-1}.$
И так далее. В самом конце найдём $\alpha_{00} A^{0}XA^{0}.$

[bot]

ОК А еше есть формула рещния

[Null]

Если она требует считать $1/(\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{n-1} \alpha_{ij} x^i y^j)$ с точностью до $O(x^n+y^n)$, то это не интересно.

[bot]

Без всяких приблительностей есть простая формула

[lel0lel]

У меня слегка крокодилисто получилось.
Обозначения: $d=n^2$, $a'_{00}=-a_{00}$ и $a'_{ij}=a_{ij}$ для $i+j>0$

$$X=\frac{(-1)^{n-1}}{a_{00}^d}\sum\limits_{\substack{i_1,...,i_{d-1}=0 \\ j_1,...,j_{d-1}=0}}^{n-1}\left( \prod_{k=1}^{d-1} a'_{i_k j_k} \right)A^{i_1+\ldots +i_{d-1}}B A^{j_1+\ldots +j_{d-1}}$$

Понятно что если $i_1+\ldots +i_{d-1}\geq n$ или $j_1+\ldots +j_{d-1}\geq n$, то слагаемое равно нулю.

(Оффтоп)

Попросил ИИ записать покомпактнее:
$X = \frac{(-1)^{n-1}}{a_{00}^d} \sum_{\mathbf{I}, \mathbf{J}} \left( \prod_{k=1}^{d-1} a'_{i_k j_k} \right) A^{|\mathbf{I}|} B A^{|\mathbf{J}|}$
Мультииндексы: $\(\mathbf{I}=(i_{1},\dots ,i_{d-1})\)$ и $\(\mathbf{J}=(j_{1},\dots ,j_{d-1})\)$, где каждый индекс изменяется от 0 до n-1.

[TOTAL]

Вот формула. Неужели есть ещё проще?

$\displaystyle X_{0}=B$

$$do \;\; k=1,2n$$

$$ X_{k}= X_{k-1}+\frac{1}{\alpha_{00}}\left( B - \sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{n-1} \alpha_{ij} A^iX_{k-1}A^j \right) $$

$$ enddo$$

$\displaystyle X=X_{2n}$

[bot]

Ок ) отличается лишь группировкой но мое оператрное

екороче

[TOTAL]

bot в сообщении #1716164 писал(а):

Ок ) отличается лишь группировкой но мое оператрное

Это типа $\displaystyle X =F(F( \dots F(0))), $ где $\displaystyle F(t)= t+\frac{1}{\alpha_{00}}\left( B - \sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{n-1} \alpha_{ij} A^itA^j \right)? $

[Null]

Мое решение точное:
Считаем $1/(\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{n-1} \alpha_{ij} x^i y^j)$, а члены делящиеся на $x^n$ или $y^n$ выбрасываем, если считать как $\frac{1}{a_{00}}\frac{1}{1+L}$, то сумма будет конечной. Потом подставляем $x$ - умножение на $А$ слева, $y$ - справа. И применяем к $B$.

[bot]

$\alpha_{00}(I+S)X=B$
$\alpha_{00}(I+S)X=B$

$(I+S)^{-1}=I-S+S^2-…+ S^{2n-2}$