Определение внутреннего отношения в регулярных категориях

[OlgaD]

Мне встретилось описание понятия отношения в регулярной категории, которое мне не совсем понятно. Это описание можно найти в книге Handbook of Categorical Algebra (vol. 2) Categories and Structures Francis Borceux. Здесь отношение определяется на объекте $A$ категории $\mathscr{C}$ как объект $R\in\mathscr{C}$ вместе с мономорфной парой стрелок $r_1,r_2:R\rightrightarrows A$ (т.е. для любых стрелок $x,y:X\rightrightarrows R$ равенство $x=y$ имеет место тогда и только тогда, когда $r_1\circ x=r_1\circ y$ и $r_2\circ x=r_2\circ y$). Утверждается, что для каждого объекта $X\in\mathscr{C}$ отношение $R$ порождает отношение

$$R_X=\{(r_1\circ x,r_2\circ x)|x\in\mathscr{C}(X,R)\}$$

на множестве морфизмов $\mathscr{C}(X,A).$ Я не совсем понимаю как определяется это отношение. У меня есть предположение, что для морфизмов $f_1,f_2:X\to A$ вводится отношение $f_1\sim f_2\Leftrightarrow\exists\;x:X\to R$ такой, что $r_1\circ x=f_1$ и $r_2\circ x=f_2.$ Тогда, очевидно, подмножество $R_X$ будут включать все такие пары морфизмов. Но я не понимаю, откуда появляется именно такое правило.

[dgwuqtj]

OlgaD в сообщении #1714021 писал(а):

У меня есть предположение, что для морфизмов $f_1,f_2:X\to A$ вводится отношение $f_1\sim f_2\Leftrightarrow\exists\;x:X\to R$ такой, что $r_1\circ x=f_1$ и $r_2\circ x=f_2.$

Там ровно это и написано, только в виде формулы. Ну и $R_X$ — это просто какое-то бинарное отношение, странно обозначать его значком $\sim$, используемым для отношений эквивалентности.

Давайте для простоты считать, что $\mathcal C$ имеет все конечные пределы, тогда $(r_1, r_2) \colon R \to A \times A$ будет мономорфизмом. Рассмотрим вложение Йонеды $\mathbf y \colon \mathcal C \to \mathbf{Cat}(\mathcal C^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set}), A \mapsto \mathcal C({-}, A)$. Оно замечательно тем, что является вполне строгим функтором, а также сохраняет конечные пределы и мономорфизмы. Мономорфизм $R \to A \times A$ переходит в семейство инъективных отображений

$$ (r_{1*}, r_{2*}) \colon \mathcal C(X, R) \to \mathcal C(X, A \times A) \cong \mathcal C(X, A)^2, x \mapsto (r_1 \circ x, r_2 \circ x), $$

естественных по $X$. Ну а $R_X$ — это в точности образ $(r_{1*}, r_{2*})$.

Кстати, регулярные категории тут пока ни при чём.

[OlgaD]

dgwuqtj в сообщении #1714024 писал(а):

OlgaD в сообщении #1714021 писал(а):

У меня есть предположение, что для морфизмов $f_1,f_2:X\to A$ вводится отношение $f_1\sim f_2\Leftrightarrow\exists\;x:X\to R$ такой, что $r_1\circ x=f_1$ и $r_2\circ x=f_2.$

Там ровно это и написано, только в виде формулы. Ну и $R_X$ — это просто какое-то бинарное отношение, странно обозначать его значком $\sim$, используемым для отношений эквивалентности.

Я понимаю, что там именно это и написано. На основе этого я и сделала свое предположение. И то что $R_X$ - какое то отношение, у меня тоже не вызвало никаких сомнений. Вопрос был совершенно в другом: почему именно так строится индуцированное отношение? Почему именно по этому правилу мы "сравниваем" два морфизма из $\mathscr{C}(X,A)?$
Отсылка на вложение Йонеды для меня еще больше запутывает дело, так как я пока с этой конструкцией не знакома.
Если я не ошибаюсь морфизмы $r_1,r_2:R\to A.$ Что такое $(r_1,r_2)$ и $(r_{1*},r_{2*})?$

[dgwuqtj]

Тогда прочитайте про лемму Йонеды, без неё будет сложно. Или не пытайтесь понять, почему именно так, работает — и ладно. Вам вся эта наука нужна просто так или для приложений в каком-то разделе математики?

OlgaD в сообщении #1714031 писал(а):

Что такое $(r_1,r_2)$ и $(r_{1*},r_{2*})?$

$(r_1, r_2) \colon R \to A \times A$ — это такой морфизм, что $\pi_i \circ (r_1, r_2) = r_i$, где $\pi_i$ канонические проекции. А про $(r_{1*}, r_{2*})$ уже написано, это обычное отображение, задаваемое явной формулой.

[OlgaD]

Область моих научных интересов - алгебраическая геометрия. Читать некоторые источники без знания языка теории категорий - невозможно. Кроме того, владение категорным языком, в принципе, дает другой уровень понимания уже известных мне разделов математики. Поэтому "работает, и ладно..." для меня совсем не вариант. С леммой Йоннеды, конечно, познакомлюсь.

[dgwuqtj]

В алгебраической геометрии вообще очень часто возникают функторы вида $\mathbf{Sch}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ (я пишу про категорию схем, но то же относится и к категории алгебраических многообразий над $\mathbb C$). И полезно понимать, когда такие функторы представимы, т.е. лежат в образе вложения Йонеды. Скажем, функтор $X \mapsto \Gamma(X, \mathcal O_X)$, возвращающий кольцо регулярных функций, представим аффинной прямой. А группа Пикара $X \mapsto \mathrm{Pic}(X)$ не представима, как и большинство функторов "гомологической" природы.

Вообще если открыть книжку по схемам, там где-то в начале вводят понятие $T$-точек схемы $X$, это $X(T) = \mathbf{Sch}(T, X)$. То есть вложение Йонеды в этой области прямо фундаментально. А регулярные категории используются сильно реже, чем та же гомологическая алгебра.

[OlgaD]

Скажите, пожалуйста, а можно провести то же рассуждение, не используя понятие произведения? Автор книги, которую я цитировала, особо оговорился, что переходит к использованию мономорфной пары в определении отношения на объекте $A$ чтобы охватить случай, когда в категории $\mathscr{C}$ произведения объектов не определены.

[dgwuqtj]

Да без проблем, вложение Йонеды так же работает, просто $(r_1, r_2)$ уже не будет существовать, а вот $(r_{1*}, r_{2*}) \colon \mathcal C(X, R) \to \mathcal C(X, A) \times \mathcal C(X, A)$ определено. В этом и смысл: $\mathcal C$ может не иметь произведений, других пределов, и вообще быть неудобной, а вот $\mathbf{Cat}(\mathcal C^{\mathrm{op}}, \mathbf{Set})$ уже очень хорошая категория (топос), которая добавляет к $\mathcal C$ всё недостающее.