Как доказать утверждение?

[pavelyoung]

Доказать, что если граф $G = (V, E)$, такой что:
1) $V \subset \mathbb{R}^n$
2) $|V|$ - конечное число
3) $(v, w) \in E \Leftrightarrow v, w \in V \and ||v-w||=1$; т. е G граф единичных расстояний
4) $\forall v, w \in V: ||v-w||<\pi$

То тогда $G$ содержится в графе:
$I=(S,\{(a,b); a,b\in S; ||a-b||=1\})$
Где $S=\{v; v\in \mathbb{R}^{n+1}; ||v||=1 \}$

||v-w|| - в данном случае евклидово расстояние между векторами

[dgwuqtj]

Контрпример: граф из одной вершины $(10, 0) \in \mathbb R^2$.

[pavelyoung]

Извиняюсь. Забыл уточнить. Содержится всмысле содержится граф, изоморфный данному. Например граф (1,0,0) - тоже одна вершина. Граф (10,0) и (0,0,1) изоморфны

[dgwuqtj]

Всё равно сомнительно. Возьмём шестиугольник со стороной $1$ и его центр (граф из $7$ вершин и $12$ рёбер). Ваше утверждение говорит, что на сфере найдутся $7$ точек, образующие вершины правильной шестиугольной пирамиды, у которой грани — правильные единичные треугольники.

[pavelyoung]

[удалено]

-- 22.12.2025, 23:01 --

Ну вот если положить центр графа за $(0, 0, 1)$, а центр сферы $(0, 0, 0)$, тогда остальные шесть точек должны находится на пересечении сферы и плоскости:
1) $x^2+y^2+z^2=1$
2) $z = 0.5$
Отсюда:
$x^2+y^2=0.75$
Радиус окружности есть ничто иное как $r=\sqrt{3}/2$. Однако тогда заветное расстояние не равно 1. Спасибо за контрпример. Но что если положить максимальное расстояние между вершинами не $<\pi$, а $<2$? Найдется ли меньший контрпример?