Полная вариация меры Лебега-Стилтьеса

[Padawan]

В учебнике М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов Мера и интеграл. - М., 1998. так описывается построение меры Лебега-Стильтеса на отрезке.
Пусть $g(x)$ -- действительная функция ограниченной вариации на отрезке $[a,b]$. Представим её в виде разности двух возрастающих функций $g(x)=g_1(x)-g_2(x)$, где $g_1(x)=V_a^x(g)$ -- полная вариация функции $g$ на отрезке $[a,x]$. Продолжим функции $g_1(x)$ и $g_2(x)$ на всю прямую, полагая $g_i(x)=g_i(a)$ при $x<a$ и $g_i(x)=g_i(b)$ при $x>b$. Переопределим значения функций $g_1, g_2$ в точках разрыва, сделав их непрерывными слева. На полукольце

$$ S=\{\varnothing\}\sqcup \{[\alpha,\beta)\mid -\infty<\alpha<\beta\leqslant+\infty\}\sqcup \{(-\infty,b)\mid b\leqslant+\infty\} $$

определим две меры $m_i([\alpha,\beta))=g_i(\beta)-g_i(\alpha)$, $m_i((-\infty,b))=g_i(b)-g_i(-\infty)$, где $g_i(+\infty)=\lim_{x\to+\infty} g_i(x)$, $g_i(-\infty)=\lim_{x\to-\infty} g_i(x)$. Эти меры будут $\sigma$-аддитивны на $S$ (благодаря непрерывности слева). Продолжим каждую из них по Лебегу до мер $\mu_i$, заданных на $\sigma$-алгебре $M_i$ подмножеств числовой прямой. Тогда на $\sigma$-алгебре $M=M_1\cap M_2$ определен заряд $\mu=\mu_1-\mu_2$. Ограничение этого заряда на $\sigma$-алгебру $M\cap [a,b]=\{A\in M\mid A\subset [a,b]\}$ и будет искомой мерой Лебега-Стилтьеса (точнее зарядом).

У меня такой вопрос: как доказать, что полная вариация $|\mu|$ заряда $\mu$ совпадает с мерой $\mu_1$, порождаемым функцией $g_1(x)=V_a^x(g)$? Я могу только доказать, что $\mu_1([\alpha,\beta))\leqslant |\mu|([\alpha,\beta)$ для любого полуинтервала $[\alpha,\beta)\subset [a,b]$. Это следует из формулы $|\mu|(A)=\sup\{\sum_k |\mu(A_k)|\mid A=\bigsqcup_k A_k, A_k\in M\}$ и того, что при подходящем разбиении $[\alpha,\beta)=\bigsqcup_k[\alpha_k,\beta_k)$ будет

$$ \sum_k|\mu([\alpha_k,\beta_k))|=\sum_k|g(\beta_k)-g(\alpha_k)|\geqslant V_\alpha^\beta (g)-\varepsilon=g_1(\beta)-g_1(\alpha)-\varepsilon=\mu_1([\alpha,\beta))-\varepsilon. $$

Как доказать противоположное неравенство $\mu_1([\alpha,\beta))\geqslant |\mu|([\alpha,\beta)$? И как от полуинтервалов перейти к произвольным измеримым множествам $A\in M$?
Как от полуинтервалов перейти к произвольным множествам, понял: надо ипользовать свойство однозначности продолжения меры по Лебегу (см. Колмогоров, Фомин). Любое множество $A\in M$ (даже $A\in M_1$) обладает следующим свойством: для любой $\sigma$-аддитивной меры $\lambda$, определённой на $\sigma$-алгебре, содержащей множество $A$, и совпадающей с $\mu_1$ на полукольце $S$ полуинтервалов, выполнено $\lambda(A)=\mu_1(A)$. Мера $|\mu|$ -- $\sigma$-аддитивная мера, заданная на $\sigma$ алгебре $M$, содержащей множество $A$. Поэтому достаточно доказать, что она совпадает с $\mu_1$ на полуинтервалах.

[dgwuqtj]

Для любого $\varepsilon > 0$ найдутся дизъюнктные борелевские $E_1, \ldots, E_n \subseteq [\alpha, \beta)$ такие, что $|\varphi|([\alpha, \beta)) \leq \varepsilon + \sum_{i = 1}^n |\varphi(E_i)|$. Есть такое замечательное свойство, внутренняя регулярность: $\varphi(E_i) = \lim_{K \subseteq E_i} \varphi(K)$, где $K$ пробегает компактные подмножества. Пользуясь внутренней регулярностью, можно заменить $E_i$ на компакты, всё ещё дизъюнктные. Далее, замкнутые подмножества $[a, b]$ — это дополнения до счётных объединений интервалов, так что можно считать, что $E_i$ не просто компакты, а дополнения до конечных объединений интервалов. То есть их можно подразбить на отрезки.

А если все $E_i = [\alpha_i, \beta_i]$ — дизъюнктные отрезки, то $|\varphi|([\alpha, \beta)) \leq \varepsilon + \sum_{i = 1}^n |g_1(\beta_i + 0) - g_1(\alpha_i)| \leq \varepsilon + V_\alpha^\beta(g)$.

Внутренняя регулярность доказывается как-то так. Сначала всё сводится к случаю мер, так как любой заряд Лебега—Стилтьеса представляется разностью мер Лебега—Стилтьеса. Для меры $\mu$ рассмотрим класс $\mathcal X$ тех борелевских подмножеств $E \subseteq [a, b]$, для которых для любого $\varepsilon > 0$ найдутся открытое $U$ и замкнутое $F$ такие, что $F \subseteq E \subseteq U$ и $\mu(U) - \mu(F) < \varepsilon$. Этот класс содержит все открытые множества и легко проверить, что на самом деле это $\sigma$-алгебра, то есть состоит из всех борелевских подмножеств.

[Padawan]

dgwuqtj
Спасибо! Внутренняя регулярность -- как раз то, чего не хватало. Чтобы множества были друг от друга на положительном расстоянии, и каждое из них можно теперь независимо (без пересечений) приблизить системой дизъюнктных полуинтервалов.

[Padawan]

Использовал следующую лемму:
Если ограниченное множество $A\in M$, то для любого $\varepsilon>0$ существует последовательность попарно непересекающихся полуинтервалов $\{[\alpha(k),\beta(k))\}_{k=1}^\infty$ такая, что $A\subset \bigsqcup\limits_{k=1}^\infty [\alpha(k),\beta(k))$ и $\left|\mu(A)-\sum\limits_{k=1}^\infty \mu([\alpha(k),\beta(k)))\right|<\varepsilon$.
Док-во. По определению меры Лебега для $\mu_1$ существует последовательность попарно непересекающихся интервалов $\{[\alpha_1(i),\beta_1(i))\}_{i=1}^\infty$ такая, что $A\subset \bigsqcup\limits_{i=1}^\infty [\alpha_1(i),\beta_1(i))$ и $\mu_1(A)<\sum\limits_{i=1}^\infty \mu_1([\alpha_1(i),\beta_1(i)))<\mu_1(A)+\varepsilon/2$. Для $\mu_2$ существует последовательность попарно непересекающихся интервалов $\{[\alpha_2(j),\beta_2(j))\}_{j=1}^\infty$ с аналогичными свойствами. Тогда для системы интервалов $\{[\alpha_1(i),\beta_1(i))\cap[\alpha_2(j),\beta_2(j))\}_{i,j=1}^\infty$, которую обозначим $\{[\alpha(k),\beta(k))\}_{k=1}^\infty$ (берем только непустые пересечения), будет выполнено $A\subset \bigsqcup\limits_{k=1}^\infty [\alpha(k),\beta(k))$, $\mu_i(A)<\sum\limits_{k=1}^\infty \mu_i([\alpha(k),\beta(k)))<\mu_i(A)+\varepsilon/2$ ($i=1,2$). Тогда

$$ \left|\mu(A)-\sum\limits_{k=1}^\infty \mu([\alpha(k),\beta(k)))\right|=\left|\mu_1(A)-\mu_2(A)-\sum\limits_{k=1}^\infty \big(\mu_1([\alpha(k),\beta(k)))-\mu_2([\alpha(k),\beta(k)))\big)\right|\leqslant $$ $$ \leqslant\left|\mu_1(A)-\sum\limits_{k=1}^\infty \mu_1([\alpha(k),\beta(k)))\right|+\left|\mu_2(A)-\sum\limits_{k=1}^\infty \mu_2([\alpha(k),\beta(k)))\right|<\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon. $$