Помогите вычислить интеграл

[Ascold]

$$\int_0^\infty e^{-ax^4}x^2dx$$

Трюки с дифференцированием по параметру/взятием по частям не проходят, к гауссову интегралу или гамма-функции не сводится, задействовать комплексную плоскость тоже не получается...

[serg_yy]

Вроде бы можно сделать замену $t = x^2, x = t^{\frac12}, dt = 2x\cdot dx, $, тогда

$$\int_0^\infty e^{-ax^4}x^2dx = \frac12\int_0^\infty e^{-at^2}t^{\frac12}dt = \frac12 \cdot \frac12 \cdot \Gamma\left(\frac34\right)/a^{\frac34}.$$

P.S. Это всё для $a>0$.