Задача из учебника по вариационному исчислению

[DTF]

Учебника Александрова и Егорова "Вариационное исчисление".

Задача № 18:
Докажите, что всякое уравнение $y'' =f(x, y, y')$ является уравнением Эйлера для некоторого функционала $I[y] = \int\limits_{x_0}^{x_1} F(x, y, y')dx$.
Как определяется функция F по функции f?

В ответах/указаниях написано вот это:
$u = F_{y'y'}$ удовлетворяет уравнению $u_x + y'u_y + fu_{y'} + f_{y'}u = 0$.

У меня типичная проблема, когда пытаешься в чем-то разобраться самостоятельно - не понятно вообще ничего :)
Поясните плс, как нужно решать эту задачу и при чем тут это уравнениею

Я даже не уверен, что правильно понял обозначения.
$F_{y'y'}$ - это вторая частная производная по $y'$ ?
А $u_x, u_{y'}$ - частная производная по x и $y'$ соответственно?

[пианист]

DTF в сообщении #1712398 писал(а):

Я даже не уверен, что правильно понял обозначения.

Да, все правильно.

Надо в уравнении ЭЛ вместо $y''$ подставить то, чему оно должно быть предположительно равно (т.е. $f$), собс-но, мы так и получим уравнение на $F$.
Только Александров и Егоров, чтобы ученикам было не скучно, видимо ;), в ответе дополнительно еще продифференцировали его по $y'$.

[DTF]

пианист в сообщении #1712403 писал(а):

Надо в уравнении ЭЛ вместо $y''$ подставить то, чему оно должно быть предположительно равно (т.е. $f$), собс-но, мы так и получим уравнение на $F$

Что такое "Уравнение ЭЛ" ?

[Null]

Эйлера-Лагранжа

[DTF]

Я не понимаю как это сделать:
Уравнение Эйлера выглядит так:

$F_y - \frac{d}{dx}F_{y'} = 0$, если переобозначить, то можно написать так:

$F_{y'} - \frac{d}{dx}F_{y''} = 0$.

В любом случае, тут фигурируют производные искомой функции F, куда мы подставляем $y'' = f$ ?
Если же мы пытаемся представить себе, что само уравнение $y'' = f$ - это уравнение Эйлера,
и пытаемся приравнять стороны уравнения, например вот так:
$\frac{d}{dx}F_{y''} = y''$

$F_{y'}= f$
То всё равно непонятно, как найти F.
Мб тут используется какая-то всем известная теорема из курса дифуров, которую я уже не помню?

[пианист]

DTF в сообщении #1712441 писал(а):

если переобозначить

Такое переобозначение представляется бессмысленным действием. Дальнейшее вообще непонятно, что такое.

DTF в сообщении #1712441 писал(а):

куда мы подставляем $y'' = f$ ?

Если Вас интересует, откуда в уравнении ЭЛ $y''$, то ответ: из полной производной $F_{y'}$.
$\frac{d} {dx} F_{y'} = F_{xy'} +y'F_{yy'} + y''F_{y'y'}$.