Теорема Бореля-Лебега для случая покрытия интервала

[kirillovw]

Читая Зорича, наткнулся на вот такое упражнение:

Цитата:

Покажите, что из системы интервалов, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал.

Как строго доказать невозможность для любой системы интервалов покрывающей интервал, выделить конечную подсистему (покрывающую данный интервал)?

Хотя бы намекните!

[Anton_Peplov]

Не надо "для любой". В упражнении требуется построить хотя бы одну систему интервалов $\{I_n\}$ такую, что она покрывает интервал $I$, но никакая ее конечная подсистема не покрывает интервал $I$. Попробуйте.

[Someone]

kirillovw в сообщении #1712378 писал(а):

Как строго доказать невозможность для любой системы интервалов покрывающей интервал, выделить конечную подсистему (покрывающую данный интервал)?

Хотя бы намекните!

Намекаю: никак не доказать. Потому что это ложное утверждение. И доказывать его Зорич не требует. Он другое спрашивает. "Не всегда" — это совсем не то же самое, что "никогда".

[kirillovw]

Someone в сообщении #1712394 писал(а):

kirillovw в сообщении #1712378 писал(а):

Как строго доказать невозможность для любой системы интервалов покрывающей интервал, выделить конечную подсистему (покрывающую данный интервал)?

Хотя бы намекните!

Намекаю: никак не доказать. Потому что это ложное утверждение. И доказывать его Зорич не требует. Он другое спрашивает. "Не всегда" — это совсем не то же самое, что "никогда".

Да, прошу прощения! Как доказать, без контрпримера, что не всегда... (и возвращаемся к теоереме). Я пытаюсь понять, какие "структурные" особенности, если можно так выразиться, не дают всегда из любой системы интервалов которая покрывает интервал выделить конечную подсистему.

Почему не всегда? Контрпример не дает ответ на этот вопрос, хотя и есть формальным и строгим доказательством.

[Anton_Peplov]

kirillovw в сообщении #1712435 писал(а):

Как доказать, без контрпримера, что не всегда... (и возвращаемся к теоереме)

Так не делается. Если надо продемонстрировать, что "не всегда", то строится контрпример, и этого достаточно.

kirillovw в сообщении #1712435 писал(а):

Почему не всегда? Контрпример не дает ответ на этот вопрос

Потому что доказательство, что ограниченное замкнутое множество является компактным, не работает для ограниченных открытых множеств. А что не запрещено, то разрешено.

[Someone]

kirillovw в сообщении #1712435 писал(а):

Я пытаюсь понять, какие "структурные" особенности, если можно так выразиться, не дают всегда из любой системы интервалов которая покрывает интервал выделить конечную подсистему.

Э-э-э… Я не понимаю, что Вы здесь подразумеваете под "структурными особенностями", и подозреваю, что ответ на свой вопрос Вы не найдёте. Свойство "из всякого покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие" называется компактностью и не предполагает никаких "структурных особенностей", хотя существуют свойства, эквивалентных компактности. Соответственно, его отрицание тоже не предполагает никаких "структурных особенностей".

А чем Вам не нравится контрпример? Утверждение о компактности имеет вид "Для всякого покрытия … можно …", отрицание его имеет вид "Существует покрытие …, для которого нельзя …". Демонстрируя контрпример, Вы показываете, что покрытие, для которого нельзя, действительно существует, то есть, прямо доказываете то самое отрицание.

[kirillovw]

Someone в сообщении #1712448 писал(а):

kirillovw в сообщении #1712435 писал(а):

Я пытаюсь понять, какие "структурные" особенности, если можно так выразиться, не дают всегда из любой системы интервалов которая покрывает интервал выделить конечную подсистему.

Э-э-э… Я не понимаю, что Вы здесь подразумеваете под "структурными особенностями", и подозреваю, что ответ на свой вопрос Вы не найдёте. Свойство "из всякого покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие" называется компактностью и не предполагает никаких "структурных особенностей", хотя существуют свойства, эквивалентных компактности. Соответственно, его отрицание тоже не предполагает никаких "структурных особенностей".

А чем Вам не нравится контрпример? Утверждение о компактности имеет вид "Для всякого покрытия … можно …", отрицание его имеет вид "Существует покрытие …, для которого нельзя …". Демонстрируя контрпример, Вы показываете, что покрытие, для которого нельзя, действительно существует, то есть, прямо доказываете то самое отрицание.

Мне не нравится, что доказательство через контрпример не дает ответа на вопрос "почему". Почему мы не можем всегда выделить конечную подсистему? Какое свойство интервала не дает? Видимо, к слову, компактность и есть причина. Интервал не-компактен.

[Mikhail_K]

kirillovw в сообщении #1712435 писал(а):

Я пытаюсь понять, какие "структурные" особенности, если можно так выразиться, не дают всегда из любой системы интервалов которая покрывает интервал выделить конечную подсистему.

Ну так посмотрите, как доказывается, что из покрытия интервалами отрезка всегда можно выделить конечное подпокрытие (лемма Гейне-Бореля), и разберитесь, какой шаг в доказательстве "ломается" применительно к покрытиям интервала.

[пианист]

kirillovw в сообщении #1712474 писал(а):

Почему мы не можем всегда выделить конечную подсистему? Какое свойство интервала не дает?

Я бы сказал, потому что у интервала имеется предельная точка, которая этому интервалу не принадлежит. Именно это позволяет выстроить последовательность приближающихся к предельной точке накрывающих интервалов. Все вместе они закрывают это "примыкание", но вот у любого конечного их набора будет незакрытый зазор.

[Geen]

пианист в сообщении #1712481 писал(а):

Я бы сказал, потому что у интервала имеется предельная точка, которая этому интервалу не принадлежит.

Но можно же взять всю числовую прямую в качестве интервала

[пианист]

Geen
Зорич, вроде, вещественную ось интервалом не называет.
А так, да, к вещественной оси рассуждение не применимо.

[Someone]

kirillovw в сообщении #1712474 писал(а):

Мне не нравится, что доказательство через контрпример не дает ответа на вопрос "почему".

Потому что существует контрпример.

Никуда Вы от контрпримера не денетесь. Есть свойства, которые эквивалентны компактности, но они тоже, как правило, формулируются в виде "Для каждого (чего-то) выполняется (что-то)", и отрицание формулируется в виде "Существует "нечто", для чего не выполняется (то самое что-то)". (Во всяком случае, мне в голову не пришло никакого свойства, эквивалентного компактности, которое бы формулировалось иначе.
Если ограничиться подмножествами числовой прямой $\mathbb R$ или конечномерного пространства $\mathbb R^n$, то можно рассмотреть такие свойства:
1) множество $A$ компактно тогда и только тогда, когда каждое бесконечное подмножество множества $A$ имеет в $A$ предельную точку;
2) множество $A$ компактно тогда и только тогда, когда каждая непрерывная функция ограничена на нём.

Менее очевидный пример:
3) множество $A$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

А как Вы будете доказывать, что множество не замкнуто или не ограничено? (Я предполагаю, что в учебнике необходимые определения есть.)

P. S. Если не ограничиваться подмножествами $\mathbb R$ или $\mathbb R^n$, то утверждения 1), 2) и 3) могут оказаться неверными.

[Dan B-Yallay]

kirillovw в сообщении #1712474 писал(а):

Почему мы не можем всегда выделить конечную подсистему? Какое свойство интервала не дает? Видимо, к слову, компактность и есть причина. Интервал не-компактен.

Сам спросил, сам ответил.