Точки в круге

[staric]

Можно ли в круге единичного радиуса отметить по 7 синих и красных точек так, чтобы расстояние между точками одного цвета составило не менее $\frac{\pi}{4}$, а между точками разных цветов не менее $\frac{1}{2}$ ?

[waxtep]

Кажется, можно; я правда под конец запутался в углах и вычислениях, поэтому только как идея, без претензии на решение. В вычислениях часто возникает величина $\sqrt{2-\sqrt3}$, что как раз чуть больше $1/2$, и это вселяет надежду.

Разместим шесть красных точек в вершинах вписанного правильного шестиугольника; пусть одна из них строго над центром окружности, а другая под. Четыре синих точки разместим на окружности как можно ниже, по две симметрично относительно вертикального диаметра, а еще две, наоборот, повыше (не факт, что максимально высоко; на этом месте я оставил вычисления). Наконец, разместим седьмую красную точку на вертикальном диаметре как можно ниже; и седьмую синюю как можно ниже над ней.

[svv]

У меня идея похожая, но симметричная конфигурация не получилась.

Вложение:

a.png

Точки расставляются в порядке нумерации. Точки 0 и 1 понятно где. Остальные точки на окружности прижимаются, насколько возможно, к ранее поставленному правому соседу на окружности (то есть между ними угол $2\arcsin\frac 1 4$, лишь дуги 0-10 и 0-11 будут больше).
Точка 12 находится на $Ox$ как можно ближе к точкам 10 и 11.
Тогда для красной точки 13 остаются две крохотных клиновидных области выше и ниже $Ox$, которые, увы, не смыкаются. Координаты можно выбрать, например, $(\frac{1}{5}, \frac{2}{15})$.

[waxtep]

svv в сообщении #1712032 писал(а):

Тогда для красной точки 13 остаются две крохотных клиновидных области выше и ниже $Ox$, которые, увы, не смыкаются

Ух ты! Дааа. Интересно, существует ли осесимметричное решение

[staric]

svv Отличное решение! Посчитаете, какое максимальное расстояние между одноцветными обеспечивает такой подход (при тех же 0.5 между разноцветными)?

waxtep писал(а):

Интересно, существует ли осесимметричное решение

Существует. Уверен, сможете найти.

[svv]

staric, waxtep
Спасибо. Возможно, и у waxtep замечательное решение, просто от него нет окончательного вердикта, проходит его вариант или нет.

(Уравнения)

Обозначим центр круга (начало координат) через $O$, красные и синие точки через $A_i$, где $i$ — номер точки на картинке. Пусть для определённости $A_{13}$ в верхней полуплоскости. Обозначим максимальное расстояние между одноцветными через $b$. Я думаю, что при моём подходе
$ A_{12}A_{10}=A_{12}A_{11}=b;\quad A_{13}A_1 = A_{13}A_4=b\quad$,
то есть $A_{12}$ лежит на $Ox$ и $A_{13}$ лежит на прямой $OA_2$. Имеем систему уравнений для $b$
$\begin{cases}A_{13}A_1 = b\\A_{12}A_{10} = b\\A_{12}A_{13} = \frac 1 2\\y_{12} = 0\\y_{13}:x_{13} = y_2:x_2,\end{cases}$, или $\begin{cases}(x_{1}-x_{13})^2+k^2 x_{13}^2=b^2\\(x_{12}-x_{10})^2+y_{10}^2=b^2\\(x_{13}-x_{12})^2+k^2 x_{13}^2=\frac 1 4\end{cases}$, где $k=\frac{y_2}{x_2}$.
Координаты точек $A_1, A_2, A_{10}$ известны (благодаря WolframAlpha):
$A_1=(1,0); A_2=(\frac 7 8, \frac{\sqrt{15}}8); A_{10}=(-\frac{1673}{2048};\frac{305\sqrt{15}}{2048}); k=\frac{\sqrt{15}}7$
Их можно сразу подставить в уравнения, а можно и не спешить. Неизвестные величины $x_{12}, x_{13}$ надо исключить, чтобы осталось одно уравнение для $b$, ну и решить его...