Метрические пространства числовых последовательностей

[artempalkin]

Известно (если я не жестоко ошибаюсь), что необходимым условиям сходимости в разных пространствах числовых последовательностей (типа $l_p,m,s$) является покомпонентная сходимость (то есть, скажем $x^{(n)}\to x \implies x^{(n)}_k\to x_k$). Вопрос, а есть ли метрические пространства числовых последовательностей, где это неверно? Или, например, нормированные пространства таковых, где это неверно?

[пианист]

artempalkin в сообщении #1711943 писал(а):

необходимым условиям сходимости в разных пространствах числовых последовательностей (типа $l_p,m,s$) является покомпонентная сходимость

Например, асимптотическая сходимость. Поточечно асимптотически сходящаяся последовательность последовательностей может и не сходиться.

[artempalkin]

пианист
спасибо, но что такое асимптотическая сходимость в этом контексте? по какой метрике?

-- 08.12.2025, 08:18 --

Вообще, конечно, ответить на этот вопрос несложно.

Пусть пространство нормированное и $y_n\to y$ и $x_n\to x$. При этом, допустим, $y_n$ не сходится покомпонентно к $x$, к примеру.

Тогда поменяем местами $y_n$ и $x_n$ и дело с концом... Ну то есть по сути введем новую норму с очевидным смыслом. Теперь $y_n\to x$, но не покомпонентно...

Но хотелось бы каких-то более естественных метрик/примеров...

[пианист]

artempalkin в сообщении #1711963 писал(а):

что такое асимптотическая сходимость в этом контексте?

Что-то типа такого:
$k^n(a^n_k - a_k) \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0$

[mihaild]

Если устроят неполные пространства - то многочлены на $[-1, 1]$ с $\sup$-нормой.
Ничего совсем естественного не получится, потому что с ZF совместно "все линейные функционалы на банаховых пространствах непрерывны".

[mihaild]

пианист в сообщении #1711968 писал(а):

$k^n(a^n_k - a_k) \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} 0$

Тут сверху индекс последовательности, а снизу компоненты? И квантор всеобщности по $n$? Тогда из этого следует покомпонентная сходимость.

[пианист]

mihaild
Например, $a = (0, 0, ...)$, а все $a^n$ равны $(e^{-1}, e^{-2}, ...)$.
Тогда $k^n(a^n_k - a_k) = k^n e^{-k}$ стремится к нулю для всех $n$, а компоненты $a^n$ сходятся, конечно, но не туда.

[mihaild]

Т.е. $a^n \to a$, если $\forall n: \lim\limits_{k \to \infty} k^n \cdot (a_k^n - a_k) = 0$?
Это же не сходимость. Возьмем $a^n_k = \frac{1}{k^n}$. Она к нулю не сходится, но из любой её подпоследовательности можно выделить подподпоследовательность $b_k^n < \frac{1}{k^{2n}}$, к нулю сходящуюся.

[Mikhail_K]

пианист
Так это у Вас не сходимость $\{a^n\}\to a$ ни по какой метрике. Если все $a^n$ равны, то в любом метрическом пространстве постоянная последовательность сходится к своему члену.

И вообще, тут

пианист в сообщении #1711989 писал(а):

Тогда $k^n(a^n_k - a_k) = k^n e^{-k}$ стремится к нулю для всех $n$

у Вас сходимость при $k\to\infty$, а тут

пианист в сообщении #1711989 писал(а):

компоненты $a^n$ сходятся, конечно, но не туда

при $n\to\infty$. Не работает пример.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1711974 писал(а):

Если устроят неполные пространства - то многочлены на $[-1, 1]$ с $\sup$-нормой.

Хммм, а разве если последовательность многочленов равномерно сходится к какой-то функции (в таком случае она будет аналитической, то есть в каком-то смысле бесконечным многочленом), то коэффициенты не будут соответствующие тоже сходиться?

Да и если мы рассматриваем именно пространство многочленов (неполное), то пределом там может быть только многочлен (небесконечный в смысле), уж там-то, кажется, заведомо коэффициенты должны сходиться к соответствующему коэффициенту... мне кажется, это можно даже в $L_2$-норме доказать, а тем более в супремумной... или я неправ?

[RIP]

artempalkin в сообщении #1712040 писал(а):

mihaild в сообщении #1711974 писал(а):

Если устроят неполные пространства - то многочлены на $[-1, 1]$ с $\sup$-нормой.

Хммм, а разве если последовательность многочленов равномерно сходится к какой-то функции (в таком случае она будет аналитической, то есть в каком-то смысле бесконечным многочленом), то коэффициенты не будут соответствующие тоже сходиться?

Да и если мы рассматриваем именно пространство многочленов (неполное), то пределом там может быть только многочлен (небесконечный в смысле), уж там-то, кажется, заведомо коэффициенты должны сходиться к соответствующему коэффициенту... мне кажется, это можно даже в $L_2$-норме доказать, а тем более в супремумной... или я неправ?

Равномерным пределом многочленов на отрезке может быть любая непрерывная функция (теорема Вейерштрасса). Если $f\in C^1[-1,1]$, то можно добиться, чтобы одновременно $P_n(x)\rightrightarrows f(x)$ и $P_n'(x)\rightrightarrows f'(x)$ (сначала равномерно приблизить $f'(x)$, а потом проинтегрировать, поскольку интегрирование непрерывно). Приближая функции типа

$$f_n(x)=\begin{cases}nx,&|x|\leqslant1/n^2,\\\operatorname{sgn}(x)/n,&|x|>1/n^2,\end{cases}$$

сглаженные в точках излома, можно найти последовательность многочленов $P_n(x)\rightrightarrows0$ (нулевой многочлен), для которых коэффициент при первой степени $P_n'(0)\to+\infty$. Наверняка можно явные формулы написать, но думать лень.

-- Вт 2025-12-09 11:41:30 --

Собственно, можно через многочлены Чебышёва: $P_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n}}\cos(n\arccos(x))$, $n$ нечётно.