Гипотеза Гольбаха, доказательство для малых значений.

[kukonkov]

Здравствуйте. В этой работе, я попытаюсь доказать гипотезу Гольдбаха для малых значений, без перебора.
Рассмотрим для начала, все чётные числа от 4 до 1000. Разделим их на отдельные группы. Числа кратные шести и имеющие остаток от деления на шесть равный 2 либо 4.
Далее нам потребуются формулы связывающие различные представления числа в виде пар сумм чисел. (пары: простое и простое, простое и составное, составное и составное).

Связь x, z, h(N) .

$\begin{itemize} \item $N$ — чётное натуральное число, \item $x$ — количество уникальных пар составных чисел вида $6k \pm 1$, дающих в сумме $N$, \item $h(N)$ — количество уникальных способов представить число $N$ в виде суммы двух простых чисел вида $6k \pm 1$, \item $\pi(N)$ — количество простых чисел до $N$, \item $z$ — количество уникальных способов представить число $N$ в виде суммы одного простого и одного составного числа. \end{itemize}$

Для чётных чисел N, кратных 6, справедливы следующие формулы:

$\( N-1 \) — простое число$

Формула 1.2.

$\frac{N}{6} - 1 - (X + z) = h(N)$

Формула 1.3.

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z$

При N-1 составном

Формула 2.2.

$\frac{N}{6} - 1 - (X + z) = h(N)$

Формула 2.3.

$\left(\frac{N}{3} - 1\right) - (\pi(N) - 2) = 2X + 1 + Z$

При N-1 простом:

Для начала, нам потребуются две формулы. (Формула 1.3. и Формула 1.4.)

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z$

Из формулы Формула 1.3 видно, что чем меньше величина, $(X+ z)$ тем больше пар сумм простых чисел содержит N.

Также очевидно, что

$\[ 2X + Z \geq X + z \]$

Подставим в формулу 1,3 вместо $(X+ z$), значения $(2X+Z)$ из Формула 1.4

$\frac{N}{6} - 1 - \left( \frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) \right) = h(N)$

Получаем:

$(\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} = h(N)$

Так, как нас интересует результат когда $h(N)>1$.

$(\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} \geq 1$

$(\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} - 1 \geq 0$

Данное неравенство верно для N от 12 до 900.

Вывод: для чисел кратных 6, при N-1 простом: гипотеза верна для N от 12 до 900.

При N-1 составном.

Для начала, нам потребуются две формулы. (Формула 2.2. и Формула 2.3.)

Всё те же шаги, что и При N-1 простом.

Получаем неравенство:

$(\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} \geq 0$

Данное неравенство верно для N от 12 до 900.
Вывод: для чисел кратных 6, при N-1 составном: гипотеза верна для N от 12 до 900.

ВЫВОД 1: для чисел кратных 6, гипотеза Гольдбаха верна для чисел от 12 до 900.

Если кому зайдет, далее распишу для чисел имеющие остаток от деления на шесть равный 2 либо 4.

[kukonkov]

Формула 1.3.
Как получена

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z$

$\frac{N}{3} - 1$-это количество чисел вида $ \(6k \pm 1\)$ до N. Простой факт, что возможные остатки от деления числа на 6, это 1;2;3;4;5;0, а числа вида $ \(6k \pm 1\)$ имеют 1 и 5 (остаток 5 эквивалентен -1), то есть из всех остатков, лишь два из шести мы рассматриваем, то есть из всех чисел, только треть имеют вид $ \(6k \pm 1\)$, но единица также имеет остаток от деления на шесть, равный 1, поэтому мы и вычитаем единицу.

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2)$- из всех чисел вида $ \(6k \pm 1\)$, мы вычитаем простые числа, которые также представимы в виде $ \(6k \pm 1\)$ (исключение 2 и 3), поэтому $(\pi(N) - 2)$. По итогу, остаются составные числа вида $ \(6k \pm 1\)$.

Далее логически мы приходим к тому, что если сложить все пары в которых есть составные числа заданного вида, т.е. пары которые содержат простые плюс составные числа, в которых количество составных равняется количеству данных пар, а также пары в которых оба слагаемым составные числа, в которых количество составных равняется удвоенному количеству заданных пар.

-- 06.12.2025, 09:22 --

Формула 1.2.
Как получена

$\frac{N}{6} - 1 - (X + z) = h(N)$

Очевидно, что если мы просуммируем все пары (X ,z, h(N)) , то получим количество всех возможных пар вида $ \(6k \pm 1\)$.

$\frac{N}{6} - 1 = h(N)+X + z$

$\frac{N}{6} - 1$- это количество пар из чисел вида $ \(6k \pm 1\)$, всего чисел данного вида $\frac{N}{3} - 1$, мы из них образуем пары.

-- 06.12.2025, 09:28 --

Проверяем численные расчеты:

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \( N \) & \( \pi(N) \) & Выражение: \( (\text{Выборка}) \) & Выполнено \\ \hline 12 & 5 & \( (5 - 2) - 2 = 1 \) & \checkmark \\ 18 & 7 & \( (7 - 2) - 3 = 2 \) & \checkmark \\ 30 & 10 & \( (10 - 2) - 5 = 3 \) & \checkmark \\ 60 & 17 & \( (17 - 2) - 10 = 5 \) & \checkmark \\ 120 & 30 & \( (30 - 2) - 20 = 8 \) & \checkmark \\ 300 & 62 & \( (62 - 2) - 50 = 10 \) & \checkmark \\ 600 & 109 & \( (109 - 2) - 100 = 7 \) & \checkmark \\ 900 & 154 & \( (154 - 2) - 150 = 2 \) & \checkmark \\ \hline \end{tabular}$

Все значения положительны, значит наше неравенство выполняется.

$Для всех \( N \equiv 0 \pmod{6} \), \( N \in [12, 900] \), действительно: \[ h(N) = (\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} \geq 1 \] (или \(\geq 0\) в случае, когда \( N - 1 \) составное, но мы добавили +1, и тоже получили \(\geq 1\))$

-- 06.12.2025, 09:45 --

Поправочка
При N-1 простом
Вывод: для чисел кратных 6, при N-1 простом: гипотеза верна для N от 12 до 954
Для N равно 12: условие выполнено. Выражение равно 0.0
Для N равно 18: условие выполнено. Выражение равно 1.0
Для N равно 24: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 30: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 42: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 48: условие выполнено. Выражение равно 4.0
Для N равно 54: условие выполнено. Выражение равно 4.0
Для N равно 60: условие выполнено. Выражение равно 4.0
Для N равно 72: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 84: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 90: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 102: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 108: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 114: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 132: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 138: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 150: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 168: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 174: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 180: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 192: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 198: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 228: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 234: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 240: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 252: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 258: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 264: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 270: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 282: условие выполнено. Выражение равно 10.0
Для N равно 294: условие выполнено. Выражение равно 10.0
Для N равно 312: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 318: условие выполнено. Выражение равно 10.0
Для N равно 348: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 354: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 360: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 384: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 390: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 402: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 420: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 432: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 444: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 450: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 462: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 468: условие выполнено. Выражение равно 10.0
Для N равно 480: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 492: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 504: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 510: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 522: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 558: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 564: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 570: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 588: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 594: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 600: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 618: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 642: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 648: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 654: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 660: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 678: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 684: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 702: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 720: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 744: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 762: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 774: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 798: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 810: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 822: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 828: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 840: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 858: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 864: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 882: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 888: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 912: условие выполнено. Выражение равно 1.0
Для N равно 930: условие выполнено. Выражение равно 0.0
Для N равно 942: условие выполнено. Выражение равно 0.0
Для N равно 948: условие выполнено. Выражение равно 0.0
Для N равно 954: условие выполнено. Выражение равно 0.0

-- 06.12.2025, 09:54 --

Поправочка
При N-1 составном

Вывод: для чисел кратных 6, при N-1 составном: гипотеза верна для N от 12 до 960.

N равно 36: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 66: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 78: условие выполнено. Выражение равно 6.0
N равно 96: условие выполнено. Выражение равно 6.0
N равно 120: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 126: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 144: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 156: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 162: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 186: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 204: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 210: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 216: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 222: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 246: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 276: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 288: условие выполнено. Выражение равно 11.0
N равно 300: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 306: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 324: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 330: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 336: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 342: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 366: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 372: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 378: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 396: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 408: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 414: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 426: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 438: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 456: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 474: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 486: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 498: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 516: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 528: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 534: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 540: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 546: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 552: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 576: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 582: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 606: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 612: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 624: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 630: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 636: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 666: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 672: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 690: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 696: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 708: условие выполнено. Выражение равно 6.0
N равно 714: условие выполнено. Выражение равно 6.0
N равно 726: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 732: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 738: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 750: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 756: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 768: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 780: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 786: условие выполнено. Выражение равно 4.0
N равно 792: условие выполнено. Выражение равно 4.0
N равно 804: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 816: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 834: условие выполнено. Выражение равно 4.0
N равно 846: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 852: условие выполнено. Выражение равно 2.0
N равно 870: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 876: условие выполнено. Выражение равно 2.0
N равно 894: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 900: условие выполнено. Выражение равно 2.0
N равно 906: условие выполнено. Выражение равно 1.0
N равно 918: условие выполнено. Выражение равно 1.0
N равно 924: условие выполнено. Выражение равно 1.0
N равно 936: условие выполнено. Выражение равно 0.0
N равно 960: условие выполнено. Выражение равно 0.0

[Kurkov_miroslav]

Чтобы доказать гипотезу гольдбаха у вас должен быть полный ряд простых чисел, если мы проясним простыми словами вы просто показали что для любого n простого, при сложении двух нечётных простых получается чётное. Если что, разница между двумя простыми всегдя является чётным числом, так что ваш подход логичен, это одно из свойств простых, НО! мы не можем выразить это математически дабы доказать гипотезу, так как у нас нет самого ряда (именно формулы) ряда n-простых от нуля до бесконечности.