Гипотеза Гольбаха, доказательство для малых значений.

[kukonkov]

Здравствуйте. В этой работе, я попытаюсь доказать гипотезу Гольдбаха для малых значений, без перебора.
Рассмотрим для начала, все чётные числа от 4 до 1000. Разделим их на отдельные группы. Числа кратные шести и имеющие остаток от деления на шесть равный 2 либо 4.
Далее нам потребуются формулы связывающие различные представления числа в виде пар сумм чисел. (пары: простое и простое, простое и составное, составное и составное).

Связь x, z, h(N) .

$\begin{itemize} \item $N$ — чётное натуральное число, \item $x$ — количество уникальных пар составных чисел вида $6k \pm 1$, дающих в сумме $N$, \item $h(N)$ — количество уникальных способов представить число $N$ в виде суммы двух простых чисел вида $6k \pm 1$, \item $\pi(N)$ — количество простых чисел до $N$, \item $z$ — количество уникальных способов представить число $N$ в виде суммы одного простого и одного составного числа. \end{itemize}$

Для чётных чисел N, кратных 6, справедливы следующие формулы:

$\( N-1 \) — простое число$

Формула 1.2.

$\frac{N}{6} - 1 - (X + z) = h(N)$

Формула 1.3.

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z$

При N-1 составном

Формула 2.2.

$\frac{N}{6} - 1 - (X + z) = h(N)$

Формула 2.3.

$\left(\frac{N}{3} - 1\right) - (\pi(N) - 2) = 2X + 1 + Z$

При N-1 простом:

Для начала, нам потребуются две формулы. (Формула 1.3. и Формула 1.4.)

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z$

Из формулы Формула 1.3 видно, что чем меньше величина, $(X+ z)$ тем больше пар сумм простых чисел содержит N.

Также очевидно, что

$\[ 2X + Z \geq X + z \]$

Подставим в формулу 1,3 вместо $(X+ z$), значения $(2X+Z)$ из Формула 1.4

$\frac{N}{6} - 1 - \left( \frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) \right) = h(N)$

Получаем:

$(\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} = h(N)$

Так, как нас интересует результат когда $h(N)>1$.

$(\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} \geq 1$

$(\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} - 1 \geq 0$

Данное неравенство верно для N от 12 до 900.

Вывод: для чисел кратных 6, при N-1 простом: гипотеза верна для N от 12 до 900.

При N-1 составном.

Для начала, нам потребуются две формулы. (Формула 2.2. и Формула 2.3.)

Всё те же шаги, что и При N-1 простом.

Получаем неравенство:

$(\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} \geq 0$

Данное неравенство верно для N от 12 до 900.
Вывод: для чисел кратных 6, при N-1 составном: гипотеза верна для N от 12 до 900.

ВЫВОД 1: для чисел кратных 6, гипотеза Гольдбаха верна для чисел от 12 до 900.

Если кому зайдет, далее распишу для чисел имеющие остаток от деления на шесть равный 2 либо 4.

[kukonkov]

Формула 1.3.
Как получена

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2) = 2X + Z$

$\frac{N}{3} - 1$-это количество чисел вида $ \(6k \pm 1\)$ до N. Простой факт, что возможные остатки от деления числа на 6, это 1;2;3;4;5;0, а числа вида $ \(6k \pm 1\)$ имеют 1 и 5 (остаток 5 эквивалентен -1), то есть из всех остатков, лишь два из шести мы рассматриваем, то есть из всех чисел, только треть имеют вид $ \(6k \pm 1\)$, но единица также имеет остаток от деления на шесть, равный 1, поэтому мы и вычитаем единицу.

$\frac{N}{3} - 1 - (\pi(N) - 2)$- из всех чисел вида $ \(6k \pm 1\)$, мы вычитаем простые числа, которые также представимы в виде $ \(6k \pm 1\)$ (исключение 2 и 3), поэтому $(\pi(N) - 2)$. По итогу, остаются составные числа вида $ \(6k \pm 1\)$.

Далее логически мы приходим к тому, что если сложить все пары в которых есть составные числа заданного вида, т.е. пары которые содержат простые плюс составные числа, в которых количество составных равняется количеству данных пар, а также пары в которых оба слагаемым составные числа, в которых количество составных равняется удвоенному количеству заданных пар.

-- 06.12.2025, 09:22 --

Формула 1.2.
Как получена

$\frac{N}{6} - 1 - (X + z) = h(N)$

Очевидно, что если мы просуммируем все пары (X ,z, h(N)) , то получим количество всех возможных пар вида $ \(6k \pm 1\)$.

$\frac{N}{6} - 1 = h(N)+X + z$

$\frac{N}{6} - 1$- это количество пар из чисел вида $ \(6k \pm 1\)$, всего чисел данного вида $\frac{N}{3} - 1$, мы из них образуем пары.

-- 06.12.2025, 09:28 --

Проверяем численные расчеты:

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \( N \) & \( \pi(N) \) & Выражение: \( (\text{Выборка}) \) & Выполнено \\ \hline 12 & 5 & \( (5 - 2) - 2 = 1 \) & \checkmark \\ 18 & 7 & \( (7 - 2) - 3 = 2 \) & \checkmark \\ 30 & 10 & \( (10 - 2) - 5 = 3 \) & \checkmark \\ 60 & 17 & \( (17 - 2) - 10 = 5 \) & \checkmark \\ 120 & 30 & \( (30 - 2) - 20 = 8 \) & \checkmark \\ 300 & 62 & \( (62 - 2) - 50 = 10 \) & \checkmark \\ 600 & 109 & \( (109 - 2) - 100 = 7 \) & \checkmark \\ 900 & 154 & \( (154 - 2) - 150 = 2 \) & \checkmark \\ \hline \end{tabular}$

Все значения положительны, значит наше неравенство выполняется.

$Для всех \( N \equiv 0 \pmod{6} \), \( N \in [12, 900] \), действительно: \[ h(N) = (\pi(N) - 2) - \frac{N}{6} \geq 1 \] (или \(\geq 0\) в случае, когда \( N - 1 \) составное, но мы добавили +1, и тоже получили \(\geq 1\))$

-- 06.12.2025, 09:45 --

Поправочка
При N-1 простом
Вывод: для чисел кратных 6, при N-1 простом: гипотеза верна для N от 12 до 954
Для N равно 12: условие выполнено. Выражение равно 0.0
Для N равно 18: условие выполнено. Выражение равно 1.0
Для N равно 24: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 30: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 42: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 48: условие выполнено. Выражение равно 4.0
Для N равно 54: условие выполнено. Выражение равно 4.0
Для N равно 60: условие выполнено. Выражение равно 4.0
Для N равно 72: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 84: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 90: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 102: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 108: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 114: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 132: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 138: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 150: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 168: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 174: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 180: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 192: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 198: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 228: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 234: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 240: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 252: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 258: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 264: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 270: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 282: условие выполнено. Выражение равно 10.0
Для N равно 294: условие выполнено. Выражение равно 10.0
Для N равно 312: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 318: условие выполнено. Выражение равно 10.0
Для N равно 348: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 354: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 360: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 384: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 390: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 402: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 420: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 432: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 444: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 450: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 462: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 468: условие выполнено. Выражение равно 10.0
Для N равно 480: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 492: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 504: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 510: условие выполнено. Выражение равно 9.0
Для N равно 522: условие выполнено. Выражение равно 8.0
Для N равно 558: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 564: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 570: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 588: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 594: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 600: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 618: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 642: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 648: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 654: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 660: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 678: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 684: условие выполнено. Выражение равно 7.0
Для N равно 702: условие выполнено. Выражение равно 6.0
Для N равно 720: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 744: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 762: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 774: условие выполнено. Выражение равно 5.0
Для N равно 798: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 810: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 822: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 828: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 840: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 858: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 864: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 882: условие выполнено. Выражение равно 2.0
Для N равно 888: условие выполнено. Выражение равно 3.0
Для N равно 912: условие выполнено. Выражение равно 1.0
Для N равно 930: условие выполнено. Выражение равно 0.0
Для N равно 942: условие выполнено. Выражение равно 0.0
Для N равно 948: условие выполнено. Выражение равно 0.0
Для N равно 954: условие выполнено. Выражение равно 0.0

-- 06.12.2025, 09:54 --

Поправочка
При N-1 составном

Вывод: для чисел кратных 6, при N-1 составном: гипотеза верна для N от 12 до 960.

N равно 36: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 66: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 78: условие выполнено. Выражение равно 6.0
N равно 96: условие выполнено. Выражение равно 6.0
N равно 120: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 126: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 144: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 156: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 162: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 186: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 204: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 210: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 216: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 222: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 246: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 276: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 288: условие выполнено. Выражение равно 11.0
N равно 300: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 306: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 324: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 330: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 336: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 342: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 366: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 372: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 378: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 396: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 408: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 414: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 426: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 438: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 456: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 474: условие выполнено. Выражение равно 10.0
N равно 486: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 498: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 516: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 528: условие выполнено. Выражение равно 9.0
N равно 534: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 540: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 546: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 552: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 576: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 582: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 606: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 612: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 624: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 630: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 636: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 666: условие выполнено. Выражение равно 8.0
N равно 672: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 690: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 696: условие выполнено. Выражение равно 7.0
N равно 708: условие выполнено. Выражение равно 6.0
N равно 714: условие выполнено. Выражение равно 6.0
N равно 726: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 732: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 738: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 750: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 756: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 768: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 780: условие выполнено. Выражение равно 5.0
N равно 786: условие выполнено. Выражение равно 4.0
N равно 792: условие выполнено. Выражение равно 4.0
N равно 804: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 816: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 834: условие выполнено. Выражение равно 4.0
N равно 846: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 852: условие выполнено. Выражение равно 2.0
N равно 870: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 876: условие выполнено. Выражение равно 2.0
N равно 894: условие выполнено. Выражение равно 3.0
N равно 900: условие выполнено. Выражение равно 2.0
N равно 906: условие выполнено. Выражение равно 1.0
N равно 918: условие выполнено. Выражение равно 1.0
N равно 924: условие выполнено. Выражение равно 1.0
N равно 936: условие выполнено. Выражение равно 0.0
N равно 960: условие выполнено. Выражение равно 0.0