Теплоемкость электронного газа (Ландау, Лифшиц)

[palz]

Добрый день.
В книге Ландау и Лифшица "Статистическая физика" (М., 1964) приводится вывод температурной поправки для $\Omega$-потенциала электронного газа (параграф 57, с. 194)
$\Omega=\Omega_0-VT^2\frac{g\sqrt{2\mu}m^{3/2}}{12\hbar^3}$,
где $\Omega_0$ - это значение $\Omega$ - потенциала при абсолютном нуле температуры.
Вводится обозначение $\beta=(g\pi/6)^{2/3}(\frac{m}{\hbar^2})$, где g- спиновая кратность вырождения
Ниже получены выражения для теплоемкости
$ C =\beta NT (V/N)^{2/3}$
и энергии электронного газа
$E=E_0+\frac{\beta}{2}NT^2(V/N)^{2/3}$
Если используем введенное обозначение для $\beta$, а для хим. потенциала используем его значение при нулевой температуре, как это и делается в книге для свободной энергии и энтропии, то выражение для $\Omega$-потенциала можно будет записать в виде
$\Omega=\Omega_0-\frac{\beta}{2}NT^2(\frac{V}{N})^{2/3}$
Выражение для теплоемкости электронного газа известно и такое же указывается, например, в книге Ашкрофта и Мермина "Физика твердого тела". Видно что выражение для полной энергии соответствует этому выражению для теплоемкости. Однако есть нюанс - ведь теперь $\Omega$ и E не связаны через коэффициент (-2/3), а должны - это выводится
в параграфе 55 (см. формулы (55.6) и (55.7)). Согласно этим выражениям $\Omega=-\frac{2}{3}E$. Неясно что за и откуда берется такая нестыковка.

[Cos(x-pi/2)]

Мда... Похоже, что в ЛЛ в параграфе про теплоёмкость вырожденного электронного газа допущена ошибка в формуле для $\Omega.$ Издания 1964 года я не видел, но в издании 1976 года "Статистическая физика, часть 1" (том 5) тоже написана формула, которая при замене в члене с $T^2$ химпотенциала $\mu$ на $\varepsilon_F$ сводится к ошибочной формуле (хотя именно в таком виде она там и не написана) вида

$\Omega=\Omega_0-\frac{\beta}{2}NT^2(\frac{V}{N})^{2/3}$

где $\Omega_0$ это $\Omega$ при нулевой температуре.

Происхождение этой формулы в ЛЛ поясняется с помощью приближённого выражения для интеграла вида

$$I=\int_0^{\infty}\frac{f(\varepsilon)\,d\varepsilon}{e^{(\varepsilon -\mu)/T}+1}$$

Вот приближённое выражение для $I:$

$$I=\int_0^{\mu}f(\varepsilon)\,d\varepsilon\,+\,\frac{\pi^2}{6}T^2f'(\mu)\,+\,...$$

В книге ЛЛ написано, что температурная поправка к $\Omega_0$ получена подстановкой в эту формулу $f(\varepsilon)=\varepsilon^{3/2}.$ Написанное в книге слагаемое с $T^2$ в потенциале $\Omega$ действительно получается из слагаемого с $T^2$ в этом приближённом выражении. Но ведь есть ещё и первое слагаемое, с интегралом.

Слагаемое с интегралом даёт $\frac{2}{5}\mu^{5/2},$ а химпотенциал $\mu$ сам зависит от температуры, так что зависящая от $T$ поправка от $\frac{2}{5}\mu^{5/2}$ тоже даст вклад в $\Omega$ (в книге этот вклад потерян). Зависимость химпотенциала от температуры можно найти из условия постоянства $N/V,$ полагая, что эта величина не зависит от температуры; вычисление здесь аналогичное - с помощью приближённой формулы для интеграла $I,$ в котором в роли функции $f$ теперь будет $\varepsilon^{1/2}.$ Результат:

$$\mu \approx \varepsilon_F\,\left( 1-\frac{\pi^2}{12}\,\frac{T^2}{\varepsilon_F^2}\right)$$

Тогда в итоге получается

$$\Omega=\Omega_0-\frac{\beta}{3}NT^2\left(\frac{V}{N}\right)^{2/3}$$

и равенство $\frac{2}{3}E=-\Omega$ выполняется.