Количество пар простых чисел, которые в сумме дают N

[kukonkov]

Здравствуйте! В этом посте я расскажу о формулах для вычисления примерного количества пар простых чисел, которые в сумме дают N (кратное шести).

$N-$ Чётное натуральное число
$x -$ количество уникальных пар составных чисел вида $6k ± 1$, дающих в сумме N
$h(N) -$ количество уникальных способов представить число $N$ в виде суммы двух простых чисел вида $6k±1$
$ Z - $количество уникальных пар, где одно число простое, а другое — составное.
$\pi -$ количество простых чисел до N.

Формула 1.

$\frac{N}{6} - 1 - (X + Z) = h(N)$

Формула 2.

$\gcd(N, P) = 1$

$\[ X + Z = \sum_{P_1 > 3}^{\sqrt{N}} \left( \frac{N}{3 P_1} - a \right) - 2 \sum_{P_2 > P_1 > 3}^{\sqrt{N}} \left( \frac{N}{3 P_1 P_2} \right) + \cdots + (-1)^{\pi(\sqrt{N})}2 \sum_{P_o > \cdots > P_2 > P_1 > 3}^{\sqrt{N}} \left( \frac{N}{3 P_1 P_2 \cdots P_o} \right) \]$

$a = \sum_{i=1}^{\pi(\sqrt{N})-2} a_i$

$\begin{cases} a_i = 1, & \text{если } N - P \text{ — простое число} \\ a_i = 0, & \text{если } N - P \text{ — составное число} \end{cases}$

Примеры.
N=174

$X + Z =\[ \frac{174}{3 \times 5} + \frac{174}{3 \times 7} + \frac{174}{3 \times 11} + \frac{174}{3 \times 13} - 2 \left( \frac{174}{3 \times 5 \times 7} + \frac{174}{3 \times 5 \times 11} + \frac{174}{3 \times 5 \times 13} + \frac{174}{3 \times 7 \times 11} + \frac{174}{3 \times 7 \times 13} + \frac{174}{3 \times 11 \times 13} \right) + 2 \left( \frac{174}{3 \times 5 \times 7 \times 11} + \frac{174}{3 \times 5 \times 7 \times 13} + \frac{174}{3 \times 5 \times 11 \times 13} + \frac{174}{3 \times 7 \times 11 \times 13} \right) - \frac{174}{3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13} \]$

Фактическое число
17

Подставляем значения в формулу 1.

$\frac{N}{6} - 1 - (X + Z) = h(N)$

$\frac{174}{6} - 1 - (17) = 11$

Вывод: количество разложений числа N (174) в сумму двух простых равняется 11.

&\quad 61 + 113 = 174 \\ &\quad 67 + 107 = 174 \\ &\quad 71 + 103 = 174 \\ &\quad 23 + 151 = 174 \\ &\quad 37 + 137 = 174 \\ &\quad 7 + 167 = 174 \\ &\quad 17 + 157 = 174 \\ &\quad 11 + 163 = 174 \\ &\quad 73 + 101 = 174 \\ &\quad 47 + 127 = 174 \\ &\quad 43 + 131 = 174 $

[kukonkov]

$\[ \frac{174}{3 \times 5} + \frac{174}{3 \times 7} + \frac{174}{3 \times 11} + \frac{174}{3 \times 13} - 2 \left( \frac{174}{3 \times 5 \times 7} + \frac{174}{3 \times 5 \times 11} + \frac{174}{3 \times 5 \times 13} + \frac{174}{3 \times 7 \times 11} + \frac{174}{3 \times 7 \times 13} + \frac{174}{3 \times 11 \times 13} \right) + 2 \left( \frac{174}{3 \times 5 \times 7 \times 11} + \frac{174}{3 \times 5 \times 7 \times 13} + \frac{174}{3 \times 5 \times 11 \times 13} + \frac{174}{3 \times 7 \times 11 \times 13} \right) - \frac{174}{3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13} = 17.6423576424 \]$