Инвариантность мощности, излучаемой ускоренным зарядом

[fizGSE]

Здравствуйте!
Вот уже в нескольких источниках я читаю, что мощность, излучаемая ускоренным зарядом есть величина, инвариантная относительно преобразований Лоренца. Более того, приводится формула:

$$P=-\frac{2q^2}{3m^2c^3}\frac{dp^{\mu}}{d\tau}\frac{dp_{\mu}}{d\tau},$$

из которой, очевидно, следует инвариантность мощности $P$.

Тем не менее, в ЛЛ-2 есть формула (73,3), согласно которой 4-импульс, излучаемый ускоренным зарядом:

$$d p^i=-\frac{2 q^2}{3 c} \frac{d u^k}{d s} \frac{d u_k}{d s} u^i d s$$

Если определить (вроде бы, достаточно логично) мощность, излучаемую зарядом в некоторой системе отсчета, как энергию в этой системе (она же нулевая компонента 4-импульса умноженная на $c$), излучаемую зарядом в единицу собственного времени системы, получим из формулы выше:

$$P=c\frac{dp^0}{d\tau}=c^2\frac{dp^0}{ds}=-\frac{2 q^2c}{3 } \frac{d u^k}{d s} \frac{d u_k}{d s} u^0$$

И это, вроде как, никакой не инвариант.

Не подскажете, где я неправ?

[svv]

1) Допустим, хитрое ускоренное движение точечного заряда $q$ задано. Как Вы думаете, зависит ли мощность, излучаемая им, от его массы?
2) Допустим, точечный заряд $q$, движущийся как-то хитро ускоренно, излучает. Вы согласны, что, коль его движение ускоренно, в некоторой ИСО его 3-скорость будет (в какой-то момент) возрастать по модулю?

В таком случае, что говорит увеличение либо уменьшение энергии (нулевой компоненты 4-импульса) заряда в какой-нибудь ИСО об излучаемой мощности?

[fizGSE]

svv в сообщении #1707761 писал(а):

1) Допустим, хитрое ускоренное движение точечного заряда $q$ задано. Как Вы думаете, зависит ли мощность, излучаемая им, от его массы?

Думается мне, что нет. В формуле Лармора для нерелятивиствкого заряда - только заряд и ускорение, в формуле для излучаемого 4-импульса из ЛЛ-2 - тоже.

svv в сообщении #1707761 писал(а):

2) Допустим, точечный заряд $q$, движущийся как-то хитро ускоренно, излучает. Вы согласны, что, коль его движение ускоренно, в некоторой ИСО его 3-скорость будет (в какой-то момент) возрастать по модулю?

Строго сейчас не докажу, но, по-видимому, это действительно так.

svv в сообщении #1707761 писал(а):

В таком случае, что говорит увеличение либо уменьшение энергии (нулевой компоненты 4-импульса) заряда в какой-нибудь ИСО об излучаемой мощности?

Ну, если энергия изменяется, то заряд или ускоряется, или замедляется - в любом случае излучает.
С учётом предыдущего, можно сказать, что при всяком ускоренном движении заряда найдется такая система, где его энергия будет расти. Но, вроде бы, для излучения нет разницы между замедлением и ускорением, там модуль ускорения влияет.

[svv]

fizGSE в сообщении #1707763 писал(а):

Думается мне, что нет. В формуле Лармора для нерелятивиствкого заряда - только заряд и ускорение, в формуле для излучаемого 4-импульса из ЛЛ-2 - тоже.

Правильно. Потенциалы и поля, созданные зарядом, при заданном его движении не зависят от массы.

fizGSE в сообщении #1707758 писал(а):

С учётом предыдущего, можно сказать, что при всяком ускоренном движении заряда найдется такая система, где его энергия будет расти. Но, вроде бы, для излучения нет разницы между замедлением и ускорением, там модуль ускорения влияет.

Но Вы же здесь

fizGSE в сообщении #1707758 писал(а):

$$P=c\frac{dp^0}{d\tau}=c^2\frac{dp^0}{ds}=...$$

хотите связать мощность излучения с потерей зарядом кинетической энергии? (которая совпадает с $p^0$ с точностью до постоянного слагаемого)
Вот я и хочу показать, что прямой связи нет.

А дальше возникает вопрос, почему нет прямой связи. Мы, возможно, это обсудим.
Ключевая идея. Заряд — это устройство, которое перекачивает энергию поля в собственную и обратно. Однако потеря зарядом энергии (и, соответственно, приобретение её полем) ещё не означает, что энергия перешла в излучение.

Есть временное хранилище энергии под названием "ближняя зона".

[fizGSE]

svv в сообщении #1707764 писал(а):

хотите связать мощность излучения с потерей зарядом кинетической энергии

Ни в коем случае. По-моему, приведенная мною формула из Ландау-Лифшица выражает не потерю 4-импульса зарядом, а 4-импульс, уносимый излучением от заряда. Во всяком случае, мне так кажется из способа ее получения:
- Рассматривается заряд, неподвижный в данной ИСО
- Строится 4-вектор импульса поля, излучаемого зарядом в единицу времени: это легко сделать, так как заряд неподвижен и его излучение описывается нерелятивистскими формулами. Этот вектор будет состоять из энергии излучения (которая считается интегрированием вектора Пойтинга вокруг заряда в волновой зоне, так что ближняя тут не играет), и нуль-вектора, так как полный трехмерный импульс излучения от заряда в нашем случае будет равен нулю.

А дальше этот 4-вектор, по идее, можно переносить в любую ИСО по общим правилам.

[svv]

fizGSE в сообщении #1707767 писал(а):

По-моему, приведенная мною формула из Ландау-Лифшица выражает не потерю 4-импульса зарядом, а 4-импульс, уносимый излучением от заряда.

Так я-то с этим согласен. Я думал, что Вы с этим не согласны.

fizGSE в сообщении #1707767 писал(а):

Ни в коем случае.

Но как же тогда понимать Вашу формулу?:

$$P=c\frac{dp^0}{d\tau}=c^2\frac{dp^0}{ds}=-\frac{2 q^2c}{3 } \frac{d u^k}{d s} \frac{d u_k}{d s} u^0$$

Кажется, я понял. Вы здесь обозначаете через $p^0$ не нулевую компоненту 4-импульса заряда, а то же, что ЛЛ2 обозначают через $P^i$ в (73.3).
А большую букву $P$ Вы не стали использовать, потому что она занята, Вы так обозначаете мощность.
Лучше всё-таки писать большую, ведь $p^i$ у Вас в самой первой формуле использована именно в смысле импульса заряда. Это меня и сбило с толку.

[svv]

Всё, я понял Ваш вопрос, могу ответить.

fizGSE в сообщении #1707758 писал(а):

Если определить (вроде бы, достаточно логично) мощность, излучаемую зарядом в некоторой системе отсчета, как энергию в этой системе (она же нулевая компонента 4-импульса умноженная на $c$), излучаемую зарядом в единицу собственного времени системы, получим из формулы выше:

Нет, мощность — это энергия, излучаемая в единицу времени $t$, а не в единицу собственного времени $\tau$. Обозначим
$N=-\dfrac {2e^2} {3c} \dfrac{du^k}{d\tau}\dfrac{du_k}{d\tau}$
Пока это просто инвариант. Тогда формулу (73.3) можно записать в виде
$dP^i=\dfrac 1{c^2}N dx^i$
Для $i=0$ получаем
$d(\mathcal E/c) =\dfrac 1{c^2} N d(ct)$,
или
$\dfrac{d\mathcal E}{dt}=N$
Слева мощность, справа инвариант, так что всё сходится.

[fizGSE]

Большое спасибо, теперь все ясно!
Почему-то не сразу дошла та мысль, что $\tau$ в этих формулах - собственное время заряда, а мощность в произвольной ИСО нужно считать по координатному. Наверное, запутало то, что в начале вывода, когда рассматривается ИСО с неподвижным в ней зарядом, координатное время и собственное время заряда совпадают.