Периодичность непрерывной функции

[ovalox]

Дана непрерывная функция $f: [0;1]\to[0;1]$. Оказалось, что каждая точка интервала $[0;1]$ имеет конечный период, то есть $f(f(...(x))...)=x$ для некоторого количества функций $f$. Надо доказать, что у всех точек отрезка есть общий конечный период, то есть $\exists N\in\mathbb{N}: \forall x\in[0;1]: f^N(x)=x$.

В силу непрерывности $f$, имеем $S_{k}= \left\lbrace x: f^k(x)=x\right\rbrace$ замкнуто. Тогда $[0;1]$ представим в виде объединения счётного числа множеств $S_{k}$, значит некоторое $S_{m}$ плотно в некоторой окрестности $(a,b)$, и т.к. $S_{m}$ замкнуто, то $S_{m}\supset(a,b)$.

Я подозреваю, что переход от счётного семейства множеств $S_{k}$ к конечному должен осуществляться какой-нибудь компактностью и т.п. Однако у меня не получилось это сделать(( Буду благодарен за любую помощь!

[Null]

Эта функция - иньективна, а значит монотонна. Если она возрастает то $f(x)=x$, иначе $F=f(f(x))$ возрастает и обладает такими же свойствами и F(x)=x.

[ovalox]

Null в сообщении #1706789 писал(а):

Эта функция - иньективна, а значит монотонна. Если она возрастает то $f(x)=x$, иначе $F=f(f(x))$ возрастает и обладает такими же свойствами и F(x)=x.

Как будто $f$ вовсе не обязана быть инъекцией, разве нет?

[dsge]

Надо полагать, что необходимо доказать, что все точки имеют конечный период, тогда нет проблемы найти общий период.

Допустим противное. Пусть $x_k$ точка с периодом $k$. Тогда множество $\left\lbrace x_k\right\rbrace$ $k=1,2,...$ имеет предельную точку $x^*$ (ваша догадка об использовании компактности будет работать), которая будет непериодической, противоречие, условию, что все точки периодические.

Однако, неочевидно, что нетривиальныe функции со свойствами, указанными ТS, существуют.

[ovalox]

dsge в сообщении #1706796 писал(а):

Надо полагать, что необходимо доказать, что все точки имеют конечный период, тогда нет проблемы найти общий период.

Допустим противное. Пусть $x_k$ точка с периодом $k$. Тогда множество $\left\lbrace x_k\right\rbrace$ $k=1,2,...$ имеет предельную точку $x^*$ (ваша догадка об использовании компактности будет работать), которая будет непериодической, противоречие, условию, что все точки периодические.

Однако, неочевидно, что функции со свойствами, указанными ТS, существуют.

ну понятно, что задача равносильна тому, что периоды ограничены. однако даже если мы найдём сходящуюся последовательность точек $x_{i} \to x_{0}$, всё равно непонятно, почему период $x_{0}$ должен быть неограничен. идейно мы каждый раз смотрим НОВУЮ функцию, которая сохраняет все $x_{i}$, то есть конечное множество точек. Я не очень понимаю, как такой подхлд можно докрутить непрерывностью((

[Null]

ovalox в сообщении #1706792 писал(а):

Как будто $f$ вовсе не обязана быть инъекцией, разве нет?

Пусть $f(a)=f(b)=t$ и $a\neq b$. Рассмотрим последовательность $t,f(t),f^2(t),\dots,f^k(t)=t$ с наименьшим таким $k$, дальше она будет повторятся, а значит в ней есть $a$ и $b$, за ними следует $t$, значит они равны $f^{k-1}(t)$, если они появятся раньше, значит и $t$ появится раньше.(Если $f(t)=t$, то там все аналогично)

[svv]

Чуть иначе выражу идею Null.

Пусть $f(a)=f(b)$ и $a\neq b$. Пусть $m$ — период точки $a$, $n$ — период точки $b$. Тогда $mn$ их общий период, и
$a=f^{mn}(a)=f^{mn-1}(f(a))=f^{mn-1}(f(b))=f^{mn}(b)=b$,
что противоречит $a\neq b$.

[ovalox]

а, да, действительно.ну если f - биекция, то дальше всё понятно.
спасибо огромное! как-то мне не верилось в инъективность, а зря