2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 сфера; найти наименьшее значение выражения
Сообщение27.02.2006, 10:55 
1. Две сферы радиуса R касаются друг друга. Через точку M проведены две
прямые, касающиеся данных сфер. Первая прямая касается сфер в точках A и B,
вторая – в точках C и D, при этом точки A и C лежат на одной сфере, точки B и
D – на другой. Известно, что угол BMD =°60 , AB = 3CD и MB > MA.
Найдите CD.
2. . Найдите наименьшее значение выражения

$\sqrt{(x -1)^2 +(y+1)^2} + \sqrt{(x +1)^2 +(y -1)^2} +\sqrt{(x+2)^2+ (y+2)^2}$

 
 
 
 
Сообщение27.02.2006, 11:57 
Решение 2 геометрическое. Если А=(-2,2),B=((1,-1),C=(-1,1), то сумма расстояний до этих точек минимально, когда точка находится на биссектрисе и высоте AO (O=(0,0)), т.е при x=y=-t<0. Тогда находится минимум sqrt(2)[2-t+2sqrt(1+t^2)], Он получается при t=1/sqrt(3) и равен sqrt(8)+sqrt(6).

 
 
 
 
Сообщение27.02.2006, 12:36 
А как насчёт первой задачки?

 
 
 
 
Сообщение27.02.2006, 13:42 
1) ую можно свести к аналитической геометрии. Хотя этот путь скорее не оптимальный но даст результат. Из-за громоздкости этого, вряд ли найдутся желающие решать до конца по этой технологии.

 
 
 
 
Сообщение27.02.2006, 13:50 
В принципе, учитывая что CD=CM+MD=AM+MB=AB задача существенно упрощается.

 
 
 
 
Сообщение28.02.2006, 12:01 
А я так и не поняла, где находится точка М...

 
 
 
 
Сообщение28.02.2006, 12:08 
Я же показал, что AB=CD, а это противоречит вашему условию AB=3CD.

 
 
 
 
Сообщение05.03.2006, 18:47 
Уважаемый Руст
а что вы скажете о варианте когда точка М расположена не между точками С и D, и точками A и B ?

 
 
 
 
Сообщение05.03.2006, 20:44 
Всё равно. Единственное, что может спасти при этом условии, это разные радиусы сфер.

 
 
 
 
Сообщение05.03.2006, 22:32 
Аватара пользователя
Руст писал(а):
Всё равно. Единственное, что может спасти при этом условии, это разные радиусы сфер.


Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на двух пересекающихся в точке $M$ прямых, поэтому все 5 точек лежат в одной плоскости.

Представьте себе, что эта плоскость пересекает две данные сферы радиуса $R$ по окружностям радиусов $r_1\leqslant r_2\leqslant R$, причём, хотя бы одно из этих неравенств является строгим (это равносильно тому, что плоскость не содержит центр по меньшей мере одной из сфер). Тогда эти две окружности имеют четыре общие касательные, пересекающиеся в пяти (при $r_1=r_2<R$) или 6 (при $r_1<r_2\leqslant R$) точках, любая из которых априори может быть точкой $M$.

Вообще-то, это задача из заочной олимпиады МФТИ, которая, кажется, ещё не завершилась.

 
 
 
 
Сообщение05.03.2006, 22:50 
Плоскость пересечения представлял. Но почему рассматривал только или оба внешних или оба скрещивающихся касательных. Упускал из виду, когда CD (более длинная) касательная внешняя, AB "внутренняя".

 
 
 
 
Сообщение06.03.2006, 01:23 
Значит, так понимаю, пока олимпиада в процессе решение не выкладываем

для наглядности-же можно взять два биллиардных шарика, две скрепленные в одной точке соломинки и крутить по шарикам ... - каюсь, я так и сделал с самого начала

 
 
 
 
Сообщение18.03.2006, 17:38 
:?: Там случайно не R*sqrt(3)/2 получается??

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group