сфера; найти наименьшее значение выражения

[ОЛЬГА1313]

1. Две сферы радиуса R касаются друг друга. Через точку M проведены две
прямые, касающиеся данных сфер. Первая прямая касается сфер в точках A и B,
вторая – в точках C и D, при этом точки A и C лежат на одной сфере, точки B и
D – на другой. Известно, что угол BMD =°60 , AB = 3CD и MB > MA.
Найдите CD.
2. . Найдите наименьшее значение выражения

$\sqrt{(x -1)^2 +(y+1)^2} + \sqrt{(x +1)^2 +(y -1)^2} +\sqrt{(x+2)^2+ (y+2)^2}$

[Руст]

Решение 2 геометрическое. Если А=(-2,2),B=((1,-1),C=(-1,1), то сумма расстояний до этих точек минимально, когда точка находится на биссектрисе и высоте AO (O=(0,0)), т.е при x=y=-t<0. Тогда находится минимум sqrt(2)[2-t+2sqrt(1+t^2)], Он получается при t=1/sqrt(3) и равен sqrt(8)+sqrt(6).

[ОЛЬГА1313]

А как насчёт первой задачки?

[Руст]

1) ую можно свести к аналитической геометрии. Хотя этот путь скорее не оптимальный но даст результат. Из-за громоздкости этого, вряд ли найдутся желающие решать до конца по этой технологии.

[Руст]

В принципе, учитывая что CD=CM+MD=AM+MB=AB задача существенно упрощается.

[ОЛЬГА1313]

А я так и не поняла, где находится точка М...

[Руст]

Я же показал, что AB=CD, а это противоречит вашему условию AB=3CD.

[zkutch]

Уважаемый Руст
а что вы скажете о варианте когда точка М расположена не между точками С и D, и точками A и B ?

[Руст]

Всё равно. Единственное, что может спасти при этом условии, это разные радиусы сфер.

[Someone]

Руст писал(а):

Всё равно. Единственное, что может спасти при этом условии, это разные радиусы сфер.

Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на двух пересекающихся в точке $M$ прямых, поэтому все 5 точек лежат в одной плоскости.

Представьте себе, что эта плоскость пересекает две данные сферы радиуса $R$ по окружностям радиусов $r_1\leqslant r_2\leqslant R$, причём, хотя бы одно из этих неравенств является строгим (это равносильно тому, что плоскость не содержит центр по меньшей мере одной из сфер). Тогда эти две окружности имеют четыре общие касательные, пересекающиеся в пяти (при $r_1=r_2<R$) или 6 (при $r_1<r_2\leqslant R$) точках, любая из которых априори может быть точкой $M$.

Вообще-то, это задача из заочной олимпиады МФТИ, которая, кажется, ещё не завершилась.

[Руст]

Плоскость пересечения представлял. Но почему рассматривал только или оба внешних или оба скрещивающихся касательных. Упускал из виду, когда CD (более длинная) касательная внешняя, AB "внутренняя".

[zkutch]

Значит, так понимаю, пока олимпиада в процессе решение не выкладываем

для наглядности-же можно взять два биллиардных шарика, две скрепленные в одной точке соломинки и крутить по шарикам ... - каюсь, я так и сделал с самого начала

[loser]

Там случайно не R*sqrt(3)/2 получается??