Задача 3.3 #2.iv из Topology Without Tears

[lebesgspacine]

Для множества $S$ вещественных чисел найти наибольший элемент и наименьшую верхнюю границу.

$S$ это множество всех вещественных чисел формы $1 - \frac{3}{n^{2}}$, где $n$ положительное целое число. $S = \{1 - \frac{3}{n^{2}} \mid n \in {\mathbb Z}^{+}\}$.

Супремум $S$ равен:
$\sup S = \lim_{n \rightarrow +\infty}(1 - \frac{3}{n^{2}}) = 1 - \lim_{n \rightarrow +\infty}(\frac{3}{n^{2}}) = 1$.

Наибольший элемент $S$:
Предположим, что $S$ имеет наибольший элемент. Тогда наибольший элемент равен $\sup S = 1$, так что существует положительное целое число $n$, такое что $1 - \frac{3}{n^{2}} = 1$. $1 - \frac{3}{n^{2}} = 1$ ттогда $\frac{3}{n^{2}} = 0$. Но тогда такого $n$ не существует. Это противоречие. Поэтому наибольший элемент $S$ не существует.

Правильно ли решение задачи?

[mihaild]

Чтобы сделать вывод про супремум, нужно еще что-то содержательное сказать про свойства последовательности. Потому что если общий член был бы $1 - \frac{\sin(n)}{n^2}$, то переход к пределу супремума бы уже не дал.