Задача 3.3 #2.iv из Topology Without Tears

[lebesgspacine]

Для множества $S$ вещественных чисел найти наибольший элемент и наименьшую верхнюю границу.

$S$ это множество всех вещественных чисел формы $1 - \frac{3}{n^{2}}$, где $n$ положительное целое число. $S = \{1 - \frac{3}{n^{2}} \mid n \in {\mathbb Z}^{+}\}$.

Супремум $S$ равен:
$\sup S = \lim_{n \rightarrow +\infty}(1 - \frac{3}{n^{2}}) = 1 - \lim_{n \rightarrow +\infty}(\frac{3}{n^{2}}) = 1$.

Наибольший элемент $S$:
Предположим, что $S$ имеет наибольший элемент. Тогда наибольший элемент равен $\sup S = 1$, так что существует положительное целое число $n$, такое что $1 - \frac{3}{n^{2}} = 1$. $1 - \frac{3}{n^{2}} = 1$ ттогда $\frac{3}{n^{2}} = 0$. Но тогда такого $n$ не существует. Это противоречие. Поэтому наибольший элемент $S$ не существует.

Правильно ли решение задачи?

[mihaild]

Чтобы сделать вывод про супремум, нужно еще что-то содержательное сказать про свойства последовательности. Потому что если общий член был бы $1 - \frac{\sin(n)}{n^2}$, то переход к пределу супремума бы уже не дал.

[MGM]

Существенное - это не термин. Задачник по МА не требует наличия приседаний, доказывающие очевидные вещи. И так понятно, что что последовательность возрастающая и всегда меньше единицы. Хотя квадрат смотрится несколько противоестественно при ${\mathbb Z}$+(вроде бы есть буковка ${\mathbb N}$ на этот случай).
Я бы просто убрал плюсик нарисовал для дроби $1 - \frac{3}{{{n^2} + 1}},n \in {\mathbb Z} $. Если уже в топологии натуральные числа не в почете.

[Someone]

mihaild в сообщении #1706070 писал(а):

Чтобы сделать вывод про супремум, нужно еще что-то содержательное сказать про свойства последовательности.

MGM в сообщении #1706644 писал(а):

Существенное - это не термин. Задачник по МА не требует наличия приседаний, доказывающие очевидные вещи.

Требует, поскольку это учебная задача, и учащийся должен показать, что он понимает, почему наименьшая верхняя граница равна указанному им пределу.

Вы не читали сборник "Физики продолжают шутить"? Там есть статья (если правильно помню, она называется "Математизация"), где объясняется, как появляется слово "очевидно": из готовой рукописи вырываются две страницы, и вместо них вставляется слово "очевидно".

И есть страшно бородатый анекдот на эту тему. «Профессор читает лекцию студентам. В какой-то момент он говорит "Совершенно очевидно, что…" и пишет на доске выражение, совершенно непохожее ни на что, написанное ранее. Далее он останавливается, смотрит на написанное, и на его лице появляется сомнение. Он ещё некоторое время смотрит на доску, и вдруг выбегает из аудитории. Студенты ждут 5 минут, 10, 20… Профессора нет. Наконец, минут через 30, он возвращается и говорит: "Я был прав. Это действительно совершенно очевидно.»